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Lexikon der Mathematik: Fehlerdifferentialgleichung

eine für die Korrektur einer Approximation einer gewöhnlichen Differentialgleichung gewonnene neue Differentialgleichung.

Ist z. B. die Anfangswertaufgabe \begin{eqnarray}\begin{array}{lcl}Ty(t) & := & y^\prime (t)-f(t,y(t))=0,t\in [0,\bar{t}],\\ y(0) & = & \eta \end{array}\end{eqnarray}

gegeben, und \(\tilde{y}\) eine irgendwie berechnete Näherung, dann läßt sich für den Fehler \(e:=y-\tilde{y}\) die Fehlerdifferentialgleichung \begin{eqnarray}{e}^{\prime}(t)={y}^{\prime}(t)-{\tilde{y}}^{\prime}(t)=f(t,y)-f(t,\tilde{y})-T\tilde{y}(t)\end{eqnarray}

herleiten. Aus dieser folgt bei hinreichender partieller Differenzierbarkeit von f bzgl. des zweiten Arguments die Differentialgleichung \begin{eqnarray}{e}^{\prime}(t)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\frac{{e}^{i}(t)}{i!}\frac{{\partial }^{i}f}{\partial {y}^{i}}(t,\tilde{y})+{R}_{n}(t)-T\tilde{y}(t)\end{eqnarray}

mit dem Restglied \begin{eqnarray}{R}_{n}(t)=\frac{{e}^{n}(t)}{n!}\frac{{\partial }^{n}f}{\partial {y}^{n}}(t,\tilde{y}+\xi e), \ \ \xi \in [0,1].\end{eqnarray}

Durch spezielle Wahl von n (i.allg. n = 1 oder 2) und entsprechende Abschätzungen lassen sich verschiedene Differentialungleichungen gewinnen, deren Lösungen Schranken für den Fehler e ergeben. Daraus erhält man unmittelbar Schranken für die Lösung des ursprünglichen Problems.

Die Methodik läßt sich auf Systeme von Differentialgleichungen ebenso anwenden. Außerdem gibt es bei fehlender Differenzierbarkeit von f weitere Möglichkeiten, aus der Fehlerdifferentialgleichung Schranken für e zu gewinnen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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