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Lexikon der Mathematik: Feigenbaum-Bifurkation

einfaches Beispiel einer Bifurkation, bei der Periodenverdopplung auftritt.

Wir betrachten die Abbildung \begin{eqnarray}f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}},\text{}x\mapsto rx(1-x)\end{eqnarray}

mit r > 0, die logistische Parabel. Durch Iteration erhält man ein diskretes dynamisches System, indem man den Zustand des Systems zum Zeitpunkt n ∈ ℕ0 mit xn bezeichnet, und rekursiv definiert \begin{eqnarray}{x}_{n+1}:=f({x}_{n})=r{x}_{n}(1-{x}_{n}).\end{eqnarray}

Durch numerische Experimente erkennt man im sog. Feigenbaum-Diagramm, daß dieses dynamische System sehr empfindlich von der Wahl des Parameters r abhängt. Es gibt einen kritischen Parameter r1 > 0 so, daß für r ∈ (0, r1) jeweils genau ein Fixpunkt existiert, der ab dem kritischen Wert r1 in zwei stabile Grenzzyklen aufspaltet. Bei einem weiteren kritischen Parameter r2 verdoppeln sich diese wieder, usw. Für r ∈ (rn, rn+1) gibt es 2n stabile Grenzzykel und einen periodischen Orbit der Periode 2n. Für rr geht das dynamische System schließlich ins Chaos über. Dieses Verhalten wird als Feigenbaum-Phänomen bezeichnet.

Feigenbaum berechnete numerisch den heute als Feigenbaum-Konstante bezeichneten Grenzwert \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }\frac{{r}_{k}-{r}_{k-1}}{{r}_{k+1}-{r}_{k}}=4,\mathrm{669201609\ldots }=:\delta. \end{eqnarray}

Die sog. Universalitätshypothese von Feigenbaum besagt, daß in allen Übergängen zum Chaos, die auf Periodenverdopplung beruhen, diese Konstante δ auftritt. Diese Hypothese wurde bisher lediglich mittels Computerunterstützung für viele diskrete dynamische Systeme in ℝ, die durch Iteration definiert sind, gezeigt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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