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Lexikon der Mathematik: Feller-Dynkin-Halbgruppe

eine stark stetige Operatorhalbgruppe (Tt)t≥0 auf C(ℝd) mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}f\ge 0 & \Rightarrow & {T}_{t}f\ge 0\,\forall t\ge 0;\end{array}\end{eqnarray}

allgemeiner kann ℝd durch einen lokalkompakten σ-kompakten Raum ersetzt werden.

Feller-Dynkin-Halbgruppen stehen in engem Zusammenhang mit (zeitlich homogenen) Markow-Halbgruppen von Übergangskernen (Pt); für solch eine Markow-Halbgruppe definiert nämlich \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{T}_{t}f(x)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{d}}f(y)d{P}_{t}(x,dy)\end{array}\end{eqnarray}

eine Feller-Dynkin-Halbgruppe, falls mit f auch Tf stetig ist und im Unendlichen verschwindet, sowie für alle ϵ-Kugeln und alle x die Glattheitsbedingung \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0}{P}_{t}(x,{U}_{\varepsilon }(x))\to 1\end{eqnarray}

erfüllt ist. Umgekehrt liefert der Rieszsche Darstellungssatz zu jeder Feller-Dynkin-Halbgruppe (Tt) eine Markow-Halbgruppe mit (1).

Ein dicht definierter Operator A ist genau dann Erzeuger einer Feller-Dynkin-Halbgruppe, wenn λA für ein λ > 0 surjektiv ist und das folgende positive Maximumprinzip gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}f\in D(A), & 0\le f({x}_{0})=\mathop{\sup }\limits_{x}f(x) & \Rightarrow & (Af)({x}_{0})\le 0.\end{array}\end{eqnarray}

Ist (Tt) eine Feller-Dynkin-Halbgruppe zu (Pt) und bezeichnet (Xt) den von (Pt) erzeugten MarkowProzeß (in diesem Fall heißt (Xt) Feller-Dynkin-Prozeß), so kann man (1) auch als \begin{eqnarray}({T}_{t}f)(x)={{\mathbb{E}}}^{x}f({X}_{t})\end{eqnarray}

schreiben. Ferner gilt die Dynkin-Formel \begin{eqnarray}{{\mathbb{E}}}^{x}f({X}_{T})-f(x)={{\mathbb{E}}}^{x}\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}(Af)({X}_{s})ds\end{eqnarray}

für alle f ∈ D(A) und alle Stoppzeiten T mit 𝔼x(T) < ∞.

Besitzt (Xt) stetige Pfade und gilt \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}({{\mathbb{R}}}^{d})\end{eqnarray}\) ⊂ D(A) (in diesem Fall heißt (Xt) Feller-Diffusion), so ist A ein semi-elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung mit stetigen Koeffizienten, d. h. für f ∈ \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}({{\mathbb{R}}}^{d})\end{eqnarray}\) ist \begin{eqnarray}Af=\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}+\displaystyle \sum _{j=1}^{d}bj\frac{f}{\partial {x}_{j}}-cf\end{eqnarray}

mit positiv-semidefiniten Matrizen (aij(x)).

[1] Lamperti, J.: Stochastic Processes. Springer Heidelberg/Berlin, 1977.
[2] Williams, D.: Diffusions, Markov Processes, and Martingales I. Wiley New York, 1979.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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