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Lexikon der Mathematik: Fermat-Gleichung

eine Gleichung, die zwei ganze Funktionen zueinander in Beziehung setzt.

Die Fermat-Gleichung für die ganzen Funktionen f und g lautet \begin{eqnarray}{f}^{n}+{g}^{n}=1,\end{eqnarray}

wobei n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Offensichtlich liefern die Funktionen f(z) = cos(z) und g(z) = sin(z) Lösungen der Gleichung für n = 2. Dies sind auch im wesentlichen die einzigen Lösungen.

Genauer gilt: Für n = 2 sind alle ganzen Lösungen der Fermat-Gleichung von der Form f = cos ∘h und g = sin ∘h mit einer ganzen Funktion h.

Für n ≥ 3 sind alle ganzen Lösungen konstante Funktionen. Diese Aussage gilt auch noch, wenn man in ℂ meromorphe Funktionen f und g ohne gemeinsame Polstellen zuläßt.

Jedoch existieren für n = 3 nichtkonstante meromorphe Lösungen f und g mit gemeinsamen Polstellen. Diese lassen sich z. B. mit Hilfe der Weierstraßschen -Funktion konstruieren. Wählt man die -Funktion zum Gitter \begin{eqnarray}\{m+n{e}^{2\pi i/3}:m,n\in {\mathbb{Z}}\}\end{eqnarray}

und Konstanten a, b mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}a:=\frac{{(\Gamma ({\scriptstyle \frac{1}{3}}))}^{6}}{8{\pi }^{2}}, & b:=\frac{1}{\sqrt{24a}},\end{array}\end{eqnarray}

so sind die Funktionen \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}f:=\frac{a+b{\wp }^{^{\prime} }}{\wp } & \text{und} & g:=\frac{a-b{\wp }^{^{\prime} }}{\wp }\end{array}\end{eqnarray}

Lösungen der Gleichung f3 + g3 = 1. Dabei ist Γ die Eulersche Γ-Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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