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Lexikon der Mathematik: Fermat-Zahl

eine Zahl der Form \begin{eqnarray}{F}_{n}:={2}^{{2}^{n}}+1,\end{eqnarray}

wobei n ∈ ℕ0. Die Zahl Fn wird genauer als als n-te Fermat-Zahl bezeichnet.

Fermat behauptete 1640 in einem Brief an Frenicle de Bessy, daß alle diese Zahlen Fn Primzahlen seien, wobei er allerdings einräumte, keinen Beweis für diese Behauptung zu besitzen. In der Tat sind F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 und F4 = 65537 Primzahlen, aber bereits \begin{eqnarray}{F}_{5}={2}^{{2}^{5}}+1={2}^{32}+1=4294967297\end{eqnarray}

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ist durch 641 teilbar, wie Euler 1732 durch eine kurze Rechnung mit Kongruenzen bewies: Wegen 5 · 27 = 640 gilt \begin{eqnarray}{5}^{4}\cdot {2}^{28}={(5\cdot {2}^{7})}^{4}\equiv {(-1)}^{4}=1\,\,\mathrm{mod}\,\,641;\end{eqnarray}

andererseits gilt 641 = 24 + 54, also \begin{eqnarray}{5}^{4}\equiv -{2}^{4}\,\,\mathrm{mod}\,\,641.\end{eqnarray}

Daraus folgt \begin{eqnarray}1-{F}_{5}=-{2}^{32}=-{2}^{4}\cdot {2}^{28}\equiv 1\,\,\mathrm{mod}\,\,641,\end{eqnarray}

also ist F5 ≡ 0 mod 641. Euler erhielt die Zerlegung \begin{eqnarray}{F}_{5}=641\cdot 6700417.\end{eqnarray}

Ein Beitrag zum tieferen Verständnis von Eulers Argument ist folgender Satz über die Primfaktoren der Fermat-Zahlen, den Lucas 1877 bewies:

Ist p eine Primzahl, die die n-te Fermat-Zahl (n ≥ 2) teilt, so gilt \begin{eqnarray}p\equiv 1\,\,\mathrm{mod}\,\,{2}^{n+2}.\end{eqnarray}

Setzt man hier n = 5, so kommen als Primteiler von F5 nur die Primzahlen p ≡ 1 mod 128 in Frage, also p = 257, 641, 769,…. Nun ist aber 257 = F3, und man beweist leicht:

Sind mn nicht-negative ganze Zahlen, so sind Fn und Fm teilerfremd.

Daher sind auch F3 und F5 teilerfremd; also ist 641 die erste Primzahl, die als Teiler von F5 in Frage kommt.

Bis heute ist es eine offene Frage, ob es außer F0,…,F4 noch eine weitere Fermatsche Primzahl, d. h. eine Fermat-Zahl, die zugleich Primzahl ist, gibt. Die Schwierigkeit liegt darin, daß Fermat-Zahlen sehr schnell sehr groß werden, z. B. hat F22 bereits mehr als 1.25 Millionen Dezimalstellen. Selbst für solche Zahlen nützlich ist das 1877 bewiesene Pepinsche Kriterium:

Für n ≥ 1 ist Fn genau dann eine Primzahl, wenn \begin{eqnarray}{3}^{{\scriptstyle \frac{1}{2}}({F}_{n}-1)}\equiv -1\,\,\mathrm{mod}\,\,{F}_{n}.\end{eqnarray}

1995 publizierten Crandall, Doenias, Norrie und Young einen darauf beruhenden Beweis, daß F22 zusammengesetzt ist.

Gauß entwickelte bereits in jungen Jahren eine Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal. Später bewies er ganz allgemein, daß ein regelmäßiges n-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn \begin{eqnarray}n={2}^{r}\cdot {p}_{1}\cdot {p}_{2}\cdot \cdots \cdot {p}_{k},\end{eqnarray}

wobei r ≥ 0 eine ganze Zahl und p1,…,pk verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. Eine Beschreibung der Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks für n = F4 = 65537 befindet sich am Mathematischen Institut der Universität Göttingen in einem Handkoffer, den Hermes (aus Königsberg) 1879 dort hinterlegte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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