Feynman-Graph, spezieller endlicher Graph.

Ein Feynman-Diagramm besteht aus endlich vielen Punkten V_j, j = 1,…,n′, die man die Ecken des Diagramms nennt, endlich vielen eindimensionalen Segmenten L₁,…,L_N, die interne Geraden genannt werden, und endlich vielen Halbgeraden \(L^{e}_{1}, \ldots, L^{e}_{n}\) , die man die externen Geraden nennt, wobei alle Größen in einem vierdimensionalen affinen Raum liegen.

Jeder Endpunkt \(w_{l}^{-}\) und \(w_{l}^{+}\) von L_l jeder Endpunkt von \(L_{r}^{e}\) ist auch eine Ecke V_j. Mit jeder externen Geraden \(L_{r}^{e}\) ist ein vierdimensionaler Vektor p_r = (p_r,0,…,p_r,4) assoziiert, mit jeder internen Geraden L_l eine Zahl m_l ≥ 0. Alle Linien von G sind orientiert. G selbst ist als Graph zusammenhängend.

Von besonderer Bedeutung ist das Feynman-Diagramm in der mathematischen Physik, wo man es als graphische Darstellung von Summanden der Streumatrixelemente, die nach einem kleinen Parameter entwickelt werden können, benutzt.

Dies wird im folgenden näher erläutert: Für die Beschreibung des Übergangs von einem Zustand in der unendlich fernen Vergangenheit in einen Zustand in der unendlich fernen Zukunft wird das Wechselwirkungsbild herangezogen, in dem die zeitliche Entwicklung des Zustandes eines Systems von wechselwirkenden Quantenfeldern durch den Wechselwirkungsanteil \(\hat{V}^{W}\) im Hamilton-Operator \(\hat{H}^{W}=\hat{H}_{0}+\hat{V}^{W}\) bedingt ist. Der Streuoperator S ist dann formal durch den Ausdruck

\begin{eqnarray}\begin{equation}T\exp\Biggl(-i\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{V}^{M}(t)dt\Biggr)\end{equation}\end{eqnarray}

Den einzelnen Faktoren in einem Element der Reihe von S werden in bestimmter Weise strukturierte Linien zugeordnet. Fermionen mit einem bestimmten Impuls werden ausgezogene Linien mit einem Pfeil in der Richtung, wie das Diagramm gelesen wird, und ihren Antiteilchen solche mit entgegengesetzter Pfeilrichtung zugeordnet. Bosonen mit einem bestimmten Impuls werden mit Wellenlinien dargestellt. Linien laufen in Leserichtung in einen Punkt (Vertex) ein. Das bedeutet Vernichtung der Teilchen. Laufen die Linien in Leserichtung aus einem Vertex heraus, werden ihnen Erzeugungsoperatoren zugeordnet. Eine zwei Vertizes verbindende Linie repräsentiert eine Ausbreitungsfunktion.

Den äußeren Linien entsprechen reale und den inneren, also zwischen zwei Vertizes gelegenen Linien, virtuelle Teilchen. Einem Vertex wird vor allem der kleine Parameter im Wechselwirkungsoperator zugeordnet, sodaß die Zahl der Vertizes mit der Ordnung des entsprechenden Terms in der Störungsreihe übereinstimmt. Die Impulse der in einen Vertex ein- und auslaufenden Linien haben einem Erhaltungssatz zu genügen.

Die Abbildung zeigt als Beispiel den Graphen (gelesen von links nach rechts) für die Streuung zweier Elektronen mit den Anfangsimpulsen p₁ und p₂, den Endimpulsen p₃ und p₄ und dem Austausch eines Photons mit dem Impuls k.