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Lexikon der Mathematik: Feynman-Diagramm

Feynman-Graph, spezieller endlicher Graph.

Ein Feynman-Diagramm besteht aus endlich vielen Punkten Vj, j = 1,…,n′, die man die Ecken des Diagramms nennt, endlich vielen eindimensionalen Segmenten L1,…,LN, die interne Geraden genannt werden, und endlich vielen Halbgeraden \(L^{e}_{1}, \ldots, L^{e}_{n}\) , die man die externen Geraden nennt, wobei alle Größen in einem vierdimensionalen affinen Raum liegen.

Jeder Endpunkt \(w_{l}^{-}\) und \(w_{l}^{+}\) von Ll jeder Endpunkt von \(L_{r}^{e}\) ist auch eine Ecke Vj. Mit jeder externen Geraden \(L_{r}^{e}\) ist ein vierdimensionaler Vektor pr = (pr,0,…,pr,4) assoziiert, mit jeder internen Geraden Ll eine Zahl ml ≥ 0. Alle Linien von G sind orientiert. G selbst ist als Graph zusammenhängend.

Von besonderer Bedeutung ist das Feynman-Diagramm in der mathematischen Physik, wo man es als graphische Darstellung von Summanden der Streumatrixelemente, die nach einem kleinen Parameter entwickelt werden können, benutzt.

Dies wird im folgenden näher erläutert: Für die Beschreibung des Übergangs von einem Zustand in der unendlich fernen Vergangenheit in einen Zustand in der unendlich fernen Zukunft wird das Wechselwirkungsbild herangezogen, in dem die zeitliche Entwicklung des Zustandes eines Systems von wechselwirkenden Quantenfeldern durch den Wechselwirkungsanteil \(\hat{V}^{W}\) im Hamilton-Operator \(\hat{H}^{W}=\hat{H}_{0}+\hat{V}^{W}\) bedingt ist. Der Streuoperator S ist dann formal durch den Ausdruck

\begin{eqnarray}\begin{equation}T\exp\Biggl(-i\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{V}^{M}(t)dt\Biggr)\end{equation}\end{eqnarray}

gegeben, wobei T der sog. chronologische Operator ist. \(\hat{V}^{W}\) hängt von einem Produkt der wechselwirkenden Felder und möglicherweise einem kleinen Parameter (wie der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten e2/4πħc) ab. Dies ermöglicht es, S als (Störungens-)Reihe zu schreiben, deren Terme durch Feynman-Graphen dargestellt werden können. Dazu werden die Quantenfelder durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (Fock-Raum) ausgedrückt.

Den einzelnen Faktoren in einem Element der Reihe von S werden in bestimmter Weise strukturierte Linien zugeordnet. Fermionen mit einem bestimmten Impuls werden ausgezogene Linien mit einem Pfeil in der Richtung, wie das Diagramm gelesen wird, und ihren Antiteilchen solche mit entgegengesetzter Pfeilrichtung zugeordnet. Bosonen mit einem bestimmten Impuls werden mit Wellenlinien dargestellt. Linien laufen in Leserichtung in einen Punkt (Vertex) ein. Das bedeutet Vernichtung der Teilchen. Laufen die Linien in Leserichtung aus einem Vertex heraus, werden ihnen Erzeugungsoperatoren zugeordnet. Eine zwei Vertizes verbindende Linie repräsentiert eine Ausbreitungsfunktion.

Den äußeren Linien entsprechen reale und den inneren, also zwischen zwei Vertizes gelegenen Linien, virtuelle Teilchen. Einem Vertex wird vor allem der kleine Parameter im Wechselwirkungsoperator zugeordnet, sodaß die Zahl der Vertizes mit der Ordnung des entsprechenden Terms in der Störungsreihe übereinstimmt. Die Impulse der in einen Vertex ein- und auslaufenden Linien haben einem Erhaltungssatz zu genügen.

Die Abbildung zeigt als Beispiel den Graphen (gelesen von links nach rechts) für die Streuung zweier Elektronen mit den Anfangsimpulsen p1 und p2, den Endimpulsen p3 und p4 und dem Austausch eines Photons mit dem Impuls k.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Feynman-Diagramm
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Feynman-Diagramm für die Streuung zweier Elektronen

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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