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Lexikon der Mathematik: Feynmansche Pfadintegral-Methode

ursprüng-lich eine der äquivalenten Darstellungen der Quantenmechanik zur Bestimmung der Zustandsfunktion, die nach Feynman auf den folgenden zwei Postulaten beruht:

I. Wenn eine ideale Messung durchgeführt wird, um zu bestimmen, ob der Weg eines Teilchens in einem Raumzeit-Gebiet liegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür das absolute Quadrat einer Summe komplexer Beiträge von jedem Weg in dem Gebiet.

II. Der Betrag dieser Beiträge ist für jeden Weggleich, aber ihre Phase ist das Zeitintegral der Lagrangefunktion L über diesen Weg in Einheiten vonh := h/2π.

Das Raumzeit-Gebiet R sei derart, daß zu jedem Weg ein endliches Zeitintervall gehört. Es wird in endlich viele kleine Intervalle der Länge ε = ti+1ti unterteilt. Für jeden Weg gehört dann zu jedem Zeitpunkt ti ein Ort xi. Außerdem habe R eine solche Form, daß es sich in drei Gebiete zerlegen läßt: Für ti < t′ ist R′ als Teil von R räumlich beschränkt; zwischen t′ < t″ ist R unbeschränkt; und für t″ < tk ist R″ als Teil von R wieder räumlich beschränkt.

Auf der Basis der Postulate I und II wird dann die Wellenfunktion, d. h. die Wahrscheinlichkeit-samplitude dafür, daß das Teilchen zum Zeitpunkt t ∈ (t′, t″) in xk gefunden wird, durch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{R}^{^{\prime} }}\exp \left[\frac{i}{h}\displaystyle \sum _{l}^{k-1}S({x}_{l+1},{x}_{l})\right]\frac{d{x}_{k-1}}{A}\frac{d{x}_{k-2}}{A}\ldots \end{eqnarray} definiert, wobei R′ anzeigen soll, daß die Integrationen der Koordinaten über R′ und für tl zwischen t′ und t über den ganzen Raum zu nehmen ist. Die Konstante A ergibt sich zu (2πiℏε/m)1/2 (m ist die Masse eines Teilchens) aus der Forderung, daß die Wellenfunktion Lösung der Schrödinger-Gleichungsein soll.

Die Feynmansche Pfadintegral-Methode ist auf die Quantenfeldtheorie ausgedehnt worden. Durch die Orientierung an Wegen in der Raumzeit kann diese Methode vorteilhaft sein, wenn die Topologie der Raumzeit komplizierter als in der speziellen Relativitätstheorie (wie etwa in der allgemeinen Relativitätstheorie) ist.

[1] Ramond, P: Field Theory, A Modern Primer. The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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