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Lexikon der Mathematik: Fichtenholz, Satz von

macht eine Aussage über Vertauschbarkeit bei iterierter Riemann-Integration:

Auf dem beschränkten und abgeschlossenen Rechteck [a, b] × [c, d] sei die Funktion f beschränkt. Existieren dann die eigentlichen Riemann-Integrale

\begin{eqnarray}\begin{equation}\int\limits^{b}_{a}f(x,y)dx\qquad f\ddot{u}r\ alle\quad y\in[c,d] \end{equation}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\begin{equation}\int\limits^{d}_{c}f(x,y)dy\qquad f\ddot{u}r\ alle\quad x\in[a,b], \end{equation}\end{eqnarray}

so existierenwieder als eigentliche Riemann-Integraleauch die Doppelintegrale

\begin{eqnarray}\begin{equation}\int\limits_{c}^{d}\Biggl(\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx\Biggr)dy,\quad \int\limits_{a}^{b}\Biggl(\int\limits^{d}_{c}f)x,y)dy\Biggr)dx\end{equation}\end{eqnarray}

und sind gleich.

Der Satz ergibt sich einfach aus der Charakterisierung des Riemann-Integrals über Zwischensummen und einem Konvergenzsatz von Arzelà-Osgood, der wiederum unmittelbar aus dem Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz folgt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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