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Lexikon der Mathematik: Finite Elemente

Teilmengen einer gegebenen Menge, die zur Approximation bzw. Interpolation einer gegebenen Funktion und somit als Ausgangspunkt für die Finite-Elemente-Methode dienen.

Es sei T ⊆ ℝ2 abgeschlossen und f : ℝ2 → ℝ eine Funktion. Die Idee der Methode der finiten Elemente besteht darin, den Definitionsbereich T in kleine Bereiche aufzuteilen, auf denen dann die Funktion f in geeigneter Weise approximiert wird. Wichtiges Hilfsmittel ist dabei der Raum der zweidimensionalen Polynome \(\Pi_{m}^{2}=\mathrm{Span}\{x^{i}y^{j}| 0\leq i,j\ \mathrm{und}\ i+j\leq m\}\) . Es seien also T1,…, Tk offene Teilmengen von T, so daß gelten:

\begin{eqnarray}\begin{equation}T_{i}\cap T_{j}=\emptyset\ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ i\neq j,\ i,j=1,\ldots,k\end{equation}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\begin{equation}T=\bigcup\limits_{i=1}^{k}\bar{T}_{i}.\end{equation}\end{eqnarray}

Dann heißt (T1,…, Tk) eine Partition der Menge T. Falls die Partition aus Dreiecken oder aus Rechtecken besteht, so nennt man die Mengen T1,…, Tk finite Elemente. Ist nun eine Partition aus finiten Elementen gegeben, so versucht man, die Funktion f auf jedem einzelnen Dreieck oder Rechteck Ti in geeigneter Weise zu interpolieren bzw. approximieren, so daß die daraus entstehende approximierende Funktion auf T bestimmte Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsbedingungen erfüllt.

Ist beispielsweise T ein Polygon und (T1,…, Tk) eine aus Dreiecken bestehende Partition von T, so daß keine Ecke eines vorkommenden Dreiecks Ti im Innern einer Kante eines anderen Dreiecks liegt, dann gibt es genau ein lineares Polynom pi auf dem Dreieck Ti, das an den drei Ecken \(z_{i,1},z_{i,2},z_{i,3}\in \mathbb{R}^{2}\) von Ti die Werte \(f(z_{i,1}),f(z_{i,2}),f(z_{i,3})\) annimmt. Definiert man dann die Funktion s : T → ℝ durch s(x, y) = pi(x, y) falls (x, y) ∈ Ti, so erhält man eine stetige Funktion s, die die gegebene Funktion f an den Ecken der Dreiecke Ti interpoliert. Aufwendigere Methoden führen zu interpolierenden Funktionen, die auf den finiten Elementen ebenfalls Polynome sind, aber höheren Differenzierbarkeits-klassen angehören

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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