Lexikon der Mathematik: Fixpunkt einer holomorphen Funktion
Punkt ζ in einer in einer offenen Menge D ⊂ ℂ zu einer holomorphen Funktion f so, daß f (ζ) = ζ ist.
Ist f in \(\{z\in \mathbb{C}:\vert z\vert >R\geq 0\}$?> holomorph und ∞ eine Polstelle von f, so nennt man auch ∞ einen Fixpunkt von f. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn f ein Polynom ist.
Der Multiplikator λ = λ(ζ) eines Fixpunktes ζ ∈ ℂ von f ist definiert durch λ :=f′(ζ). Im Fall ζ = ∞ setzt man λ : = g′(0), wobei \(g(z) := 1/f (1/z)\) .
Ein Fixpunkt ζ von f heißt
- superattraktiv, falls λ = 0,
- attraktiv, falls 0 < |λ| < 1,
- indifferent oder neutral, falls |λ| = 1,
- abstoßend oder repulsiv, falls |λ| > 1.
Fixpunkte holomorpher Funktionen spielen z. B. eine zentrale Rolle bei der Iteration rationaler Funktionen.
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