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Lexikon der Mathematik: Fixpunkt einer holomorphen Funktion

Punkt ζ in einer in einer offenen Menge D ⊂ ℂ zu einer holomorphen Funktion f so, daß f (ζ) = ζ ist.

Ist f in \(\{z\in \mathbb{C}:\vert z\vert >R\geq 0\}$?> holomorph und ∞ eine Polstelle von f, so nennt man auch ∞ einen Fixpunkt von f. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn f ein Polynom ist.

Der Multiplikator λ = λ(ζ) eines Fixpunktes ζ ∈ ℂ von f ist definiert durch λ :=f′(ζ). Im Fall ζ = ∞ setzt man λ : = g′(0), wobei \(g(z) := 1/f (1/z)\) .

Ein Fixpunkt ζ von f heißt

  1. superattraktiv, falls λ = 0,
  2. attraktiv, falls 0 < |λ| < 1,
  3. indifferent oder neutral, falls |λ| = 1,
  4. abstoßend oder repulsiv, falls |λ| > 1.
Indifferente Fixpunkte werden nochmals genauer klassifiziert. Gilt λn = 1 für ein n ∈ ℕ, so heißt ζ rational indifferent; andernfalls heißt ζ irrational indifferent.

Fixpunkte holomorpher Funktionen spielen z. B. eine zentrale Rolle bei der Iteration rationaler Funktionen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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