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Lexikon der Mathematik: Fixpunkt eines Vektorfeldes

Gleichgewichtspunkt, Punkt x0W für ein auf einer offenen Teilmenge W ⊂ ℝn definiertes Vektorfeld f : W → ℝn, für den f(x0) = 0 gilt.

Jeder Punkt xW des Vektorfeldes, der nicht Fixpunkt ist, heißt regulärer Punkt (des Vektorfeldes).

Für einen Fixpunkt x0W des Vektorfeldes f ist eine auf ganz ℝ definierte Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung x = f(x) gegeben durch x(t) = x0 (t ∈ ℝ).

Ein Fixpunkt x0 eines Vektorfeldes f heißt entartet, falls die Linearisierung von f bei x0 (Linearisierung eines Vektorfeldes) den Eigenwert 0 besitzt. Ein nicht-entarteter Fixpunkt eines Vektorfeldes ändert bei kleiner Änderung des Vektorfeldes seine Lage, verschwindet jedoch nicht (Satz über implizite Funktionen). Entartete Fixpunkte dagegen können sich in mehrere (nicht-entartete) teilen bzw. verschwinden. Dieser Begriff ist daher zur Charakterisierung sog. strukturstabiler Vektorfelder nützlich.

[1] Arnold, V.I.: Geometrische Methoden in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin, 1987.
[2] Hirsch, M.W.; Smale, S.: Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, Inc. Orlando, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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