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Lexikon der Mathematik: flacher Modul

ein R-Modul M so, daß der Funktor MR-exakt ist, d. h. wenn

\begin{eqnarray}0\rightarrow N_{1}\rightarrow N_{2}\rightarrow N_{3}\rightarrow 0\end{eqnarray}

eine exakte Folge von R-Moduln ist, dann ist

\begin{eqnarray}0\rightarrow M\otimes_{R} N_{1}\rightarrow M\otimes_{R} N_{2}\rightarrow M\otimes_{R} N_{3}\rightarrow 0\end{eqnarray}

exakt. Projektive und insbesondere freie Moduln sind flach.

Für die algebraische Geometrie ist folgender Spezialfall wichtig: Sei φ : XY ein Morphismus Cartanscher Räume und \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) eine Garbe von \({{\mathscr{O}}}_{x}\)- Moduln. Über den Komorphismus \(\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}\mathop{\rightarrow}^{\varphi^{*}}\mathcal{O}_{X,x}\) wird jeder Halm \({{\mathscr{F}}}_{x}\) zu einem \({{\mathscr{O}}}_{Y,\varphi (x)}\)-Modul, und \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) heißt flach über Y, wenn jeder dieser Halme \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\)x (xX) flacher \({{\mathscr{O}}}_{Y,\varphi (x)}\)-Modul ist. Der Morphismus φ heißt flacher Morphismus, wenn \({{\mathscr{O}}}_{X}\) (als \({{\mathscr{O}}}_{X}\)-Modul) flach über Y ist.

Wichtige Konsequenzen aus der Flachheit sind Stetigkeits- oder Halbstetigkeitseigenschaften numerischer Invarianten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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