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Lexikon der Mathematik: Fläche konstanter Gaußscher Krümmung

eine Fläche, deren Gaußsche Krümmung in allen Flächenpunkten denselben Wert k0 hat.

Für k0 = 0 sind das gerade die sog. Torsen. Für positive Werte von k0 sind neben der Oberfläche der Kugel vom Radius r = 1/k0 noch Drehflächen bekannt. Andere Beispiele haben eine kompliziertere Beschreibung.

Flächen negativer Gaußscher Krümmung k0 < 0 nennt man auch Pseudosphären. Bekanntestes Beispiel ist die gewöhnliche Pseudosphäre, die sich als Rotationsfläche einer Traktrix ergibt. Pseudosphären wurden im 19. Jahrhundert intensiv bei der Suche nach einem euklidischen Modell der hyperbolischen Geometrie studiert. Darunter versteht man eine Fläche des ℝ3, deren innere Geometrie die Axiome der hyperbolischen Geometrie erfüllt.

Für jede Pseudosphäre der Krümmung k0 = −a2 gibt es eine Parameterdarstellung durch Koordinaten (u, v), sogenannte Tschebyschew-Koordinaten, in der das Bogenelement die Form

\begin{eqnarray}ds^{2}=a^{2}\bigl(\cos^{2}\varphi du^{2}+\cos^{2}\varphi dv^{2}\bigr)\end{eqnarray}

hat, und φ(u, v) der halbe Winkel zwischen den asymptotischen Richtungen ist, der als Funktion der Koordinaten (u, v) die partielle Differentialgleichung

\begin{eqnarray}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial^{2}u}-\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial^{2}v}=-k_{0}\sin\varphi\cos\varphi\end{eqnarray}

erfüllt.

Umgekehrt läßt sich zu jeder Lösung φ von (1) eine Pseudosphäre so berechnen, daß φ der halbe Winkel zwischen deren asymptotischen Richtungen ist.

In ähnlicher Weise lassen sich Flächen konstanter positiver Gaußscher Krümmung, die nicht nur aus Nabelpunkten bestehen, durch die Lösungen einer Differentialgleichung klassifizieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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