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Lexikon der Mathematik: Fläche zweiter Ordnung

manchmal auch Fläche zweiten Grades genannt, Menge aller Punkte eines dreidimensionalen Raumes, deren Koordinaten bezüglich eines affinen Koordinatensystems eine quadratische Gleichung (Gleichung zweiten Grades) der Form

\begin{eqnarray}X^{T}\mathbf{A}x+2a^{T}x+a_{00}=0\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}\tilde{x}^{T}\tilde{\mathbf{A}}\tilde{x}=0\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}\tilde{\mathbf{A}}=({a}_{ij})\begin{array}{c}j=0,1,2,3\\ i=0,1,2,3\end{array},\tilde{\mathbf{A}}^{T}=\tilde{\mathbf{A}},\,\,\text{und}\,\,\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{eqnarray} darstellen.

Die Flächen zweiter Ordnung können anhand der Determinante der Matrix à in zwei Klassen eingeteilt werden. Diejenigen Flächen zweiter Ordnung, für welche det à von Null verschieden ist, sind die nicht entarteten Flächen zweiter Ordnung, also Ellipsoide, Hyperboloide und Paraboloide, sowie die sogenannten nullteiligen Flächen (bei denen durch (1), (2) bzw. (3) keine Punkte mit reellen Koordinaten beschrieben werden).

Bei Flächen zweiter Ordnung mit det à = 0 handelt es sich um die entarteten Flächen zweiter Ordnung: Doppelkegel, elliptische, hyperbolische, parabolische und nullteilige Zylinder sowie Paare paralleler Ebenen und Doppelebenen.

Um welche der genannten Flächen es sich bei einer gegebenen Fläche zweiter Ordnung handelt, läßt sich durch die Überführung in ein geeignetes Koordinatensystems mit Hilfe einer Hauptachsentransformation ermitteln.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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