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Lexikon der Mathematik: Fläche

im anschaulichen Verständnis eine zweidimensionale Teilmenge \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) ⊂ ℝ3, insbesondere die Begrenzungsfläche eines Körpers.

Analytische Beschreibungen erfahren Flächen entweder durch lokale Parameterdarstellungen Φ(u1, u2) oder als Niveauflächen

\begin{eqnarray}\mathcal{N}_{c}=\Bigl\{(x,y,z)^{\top}\in \mathbb{R}^{3};f(x,y,z)=c\Bigr\}\end{eqnarray}

von Funktionen f(x, y, z), d. h., durch eine implizite Flächengleichung.

Ist f(x, y, z) ein Polynom in x, y, z, so ist die Fläche \({{\mathscr{N}}}_{c}\) algebraisch. In diesem allgemeinen Kontext ist es noch zugelassen, daß die Flächen singuläre Punkte enthalten, beispielsweise Spitzen, Kanten und Ecken. Für die Differentialgeometrie sind vor allem glatte Flächen von Interesse, bei denen keine Singularitäten auftreten. Diese sind analytisch dadurch gekennzeichnet, daß in der impliziten Darstellung die partiellen Ableitungen der Funktion f (x, y, z) in den Punkten von \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) nicht gleichzeitig Null werden, oder dadurch, daß die Parameterdarstellung Φ(u1, u2) zulässig ist.

Aus mathematischer Sicht ist es eine unnötige Einschränkung des Flächenbegriffs, wenn man nur zweidimensionale Gebilde betrachtet, die in den ℝ3 eingebettet sind. Man versteht unter einer Fläche eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, d.h., eine Menge \({\mathscr{ {\mathcal M} }}\), die in einen beliebigen umgebenden Raum eingebettet ist, und die sich ähnlich wie \({\mathscr{ {\mathcal F} }}\) lokal durch Parameterdarstellungen beschreiben läßt.

Für tiefergehende Information zu Flächen mit speziellen Eigenschaften vergleiche man die nachfolgenden Stichworte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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