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Lexikon der Mathematik: Flächeninhalt eines Kreises

eine der Hauptkenngrößen eines Kreises.

Der Flächeninhalt F eines Kreises vom Radius r ist F = πr2, was man aus der allgemeineren Formel für das Volumen der n-dimensionalen Kugel für n = 2 erhält, oder direkt durch Ausrechnen des Integrals

\begin{eqnarray}F=2\int\limits_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.\end{eqnarray}

Man kann sich die Flächenformel mittels der Formel U = 2πr für den Umfang eines Kreises vom Radius r verdeutlichen, indem man sich den Kreis in k gleich große Sektoren zerlegt denkt. Für großes k nähert sich der Sektorinhalt Fk dem Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Grundseite r und der Höhe \( h\approx \frac{U}{k}=\frac{2\pi r}{k}\) an, was

\begin{eqnarray}F\approx kF_{k}\approx kr\frac{h}{2}\approx \pi r^{2}\end{eqnarray}

ergibt. Noch einfacher ist es, die Sektoren nebeneinanderzulegen, wie man an der Abbildung erkennt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Flächeninhalt eines Kreises
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Für großes k nähert sich die bedeckte Fläche einem Parallelogramm bzw. sogar einem Rechteck mit den Seitenlängen πr und r, also der Fläche πr2, an. Mit der Exhaustionsmethode kann man den Flächeninhalt eines Kreises annähern, ohne π zu benutzen, oder umgekehrt (z. B. mit dem Archimedes-Algorithmus) π selbst annähern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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