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Lexikon der Mathematik: Flips und Flops

im Sinne der algebraischen Geometrie spezielle birationale Korrespondenzen von normalen Varietäten X, Y, X+ der Form

\begin{eqnarray}X\mathop{\rightarrow}^{f}Y\mathop{\leftarrow}^{f^{+}}X^{+},\end{eqnarray}

wobei f und f+ eigentlich, birational und „klein” sind, und weitere, sehr spezielle Eigenschaften besitzen müssen.

Dabei bedeutet „klein”, daß f bzw. f+ biregulär sind auf dem Komplement einer algebraischen Menge EX bzw. E+X+ der Kodimension mindestens 2. Im Falle einer glatten Varietät Y folgt daraus schon, daß f und f+ Isomorphismen sind.

Vermutet wird (Flip-Vermutung), daß ein Flip zu gegebenem \(X\mathop{\to }\limits^{f}Y\) stets existiert, wenn X ℚ-faktoriell ist und nur terminale Singularitäten hat. Es ist bekannt, daß ein Flip eindeutig bestimmt ist, die Existenz ist bisher (2000) im Falle der Dimension 3 bewiesen.

Wenn Y ℚ-Gorensteinsch ist und KX = f*KY, D ein Cartier-Divisor so, daß D ampel relativ f ist, so heißt f+ ein D-Flop, wenn \(K_{X^{+}}=(f^{+})^{*}(K_{Y})\) , und das birationale Bild D+ des Divisors D ampel relativ f+ ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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