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Lexikon der Mathematik: Floquet, Satz von

beschreibt die Struktur der Fundamentalsysteme linearer Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.

Sei AC0(ℝ, ℂnxn) periodisch mit der Periode ω > 0. Dann sagt der Satz von Floquet für das allgemeine homogene lineare Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}\mathbf{y}^{\prime}=A(t)\mathbf{y}\end{eqnarray}

folgendes aus:

Sei Y ein Fundamentalsystem des periodischen Differentialgleichungssystems (1). Dann ist Y von der Form Y(t) = P(tetK. Dabei ist PC1(ℝ, ℂn × n) eine periodische reguläre Matrix mit derselben Periode ω und K ∈ ℂn × n eine konstante Matrix. Mit C := eωK gilt Y(t + ω) = Y (t) · C für alle t ∈ ℝ.

Die Eigenwerte der nicht eindeutig bestimmten Matrix K heißen auch charakteristische Exponenten.

Betrachtet man die Differentialgleichung zweiter Ordnung

\begin{eqnarray}y^{\prime\prime}+a_{1}(x)y^{\prime}+a_{0}(x)y=0,\end{eqnarray}

wobei die aiC0(ℝ) periodisch mit der Periode ω > 0 sein mögen, so lautet der Satz von Floquet für Differentialgleichungen zweiter Ordnung:

Sei {y1, y2} ein Fundamentalsystem von (2) und C ∈ ℝ2 × 2die Matrix mit

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}y_{1}(x+\omega)\\ y_{2}(x+\omega) \end{pmatrix}=C^{T}\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\ y_{2}(x) \end{pmatrix}.\end{eqnarray}

Seien λ1, λ2die Eigenwerte von C und r1, r2∈ ℂ mit \(\lambda_{k}=e^{r_{k}\omega}\)die charakteristischen Exponenten.

Im Falle λ1λ2besitzt die Gleichung (2) zwei linear unabhängige (eventuell komplexwertige) Lösungen der Form

\begin{eqnarray}u_{k}(x)=p_{k}(x)e^{r_{k}}x,\end{eqnarray}

dabei sind die pkperiodische Funktionen mit der Periode ω. Diese uksind periodische Lösungen zweiter Art, d. h. für sie gilt uk(x + ω) = λkuk(x).

Für den Fall λ1 = λ2 =: λ ist r1 = r2 =: r, und die Gleichung (2) besitzt dann zwei linear unabhängige reelle Lösungen der Form

\begin{eqnarray}u_{1}(x)=p_{1}(x)e^{rx}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}u_{2}(x)=\Biggl[\frac{\alpha}{\lambda\omega}xp_{1}(x)+p_{2}(x)\Biggr]e^{rx}.\end{eqnarray}

Dabei sind die pkwieder periodische Funktionen mit der Periode ω und α ∈ {0, 1}.

Es gilt u1(x + ω) = λu1(x) und für α = 0 auch u2(x + ω) = λu2(x).

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1989.
[2] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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