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Lexikon der Mathematik: Folgenkriterium für Stetigkeit

äquivalente Beschreibung der Stetigkeit durch Folgenstetigkeit:

Eine Funktion f ist in einer Stelle x0ihres Definitionsbereiches \({\mathscr{ {\mathcal D} }}\)genau dann stetig, wenn für jede Folge (xn) in \({\mathscr{ {\mathcal D} }}\)die Konvergenz xnx0die Konvergenz der Folge der Bilder (f (xn)) gegen f (x0) nach sich zieht.

Dies ergibt sich einfach direkt oder aus der Beschreibung des Grenzwertes von Funktionen durch Folgenkonvergenz und der der Stetigkeit über Grenzwerte.

Bei diesem Satz ist zunächst an reellwertige Funktionen einer reellen Variablen gedacht. Er gilt aber entsprechend auch für eine Abbildung von einem metrischen Raum in einen anderen (und noch allgemeiner auf topologischen Räumen) mit dem ersten Abzählbarkeitsaxiom).

Der Satz ist in beiden Richtungen nützlich: Weiß man schon etwas über entsprechende Folgenkonvergenz, so kann man Stetigkeit erschließen. Hat man andererseits die Stetigkeit einer Funktion, so erhält man Konvergenzaussagen für passende Folgen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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