Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Folgenräume

diskrete Analoga der Funktionenräume.

Im engeren Sinn versteht man darunter aus Folgen reeller oder komplexer Zahlen bestehende Banachräume, für die die linearen Funktionale (sn) ↦ sk stetig sind (BK-Räume).

Beispiele für Folgenräume sind der Raum der konvergenten Folgen c, der Raum der Nullfolgen co und der Raum der beschränkten Folgen , die, jeweils mit der Supremumsnorm

\begin{eqnarray}\Vert (s_{n})\Vert_{\infty}=\sup_{n}\vert s_{n}\vert\end{eqnarray}

versehen, Banachräume sind:

\begin{eqnarray}\Vert (s_{n})\Vert_{p}=\Bigl(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\vert (s_{n})\vert^{p}\Bigr)^{1/p}.\end{eqnarray}

Der Dualraum von c0 ist isometrisch isomorph zu 1, der Dualraum von 1 ist isometrisch isomorph zu , und für 1 < p < ∞ und 1/p + 1/q = 1 ist der Dualraum von p isometrisch isomorph zu ℓq.

Für 1 < p < ∞ ist p reflexiv; der Raum 2 ist ein Hilbertraum, und nach dem Satz von Fischer-Riesz ist jeder unendlichdimensionale separable Hilbertraum zu 2 isometrisch isomorph.

Jeder Banachraum, der eine Schauder-Basis besitzt, kann als Folgenraum aufgefaßt werden. Weitere Beispiele sind Lorentz-Räume.

[1] Dunford, N.; Schwartz, J. T.: Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley, 1958.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer, 1995.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos