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Lexikon der Mathematik: formaler Beweis

Beweis einer – in der Regel in einer elementaren Sprache formulierten – mathematischen Aussage allein mit Hilfe von fixierten formalen Schlußregeln.

Zur Präzisierung des mathematischen Beweisbegriffs benötigt man eine formale Sprache L (elementare Sprache), ein in der Sprache formuliertes System logischer Axiome Ax (logisches Axiom), die als logische Voraussetzungen bei jedem Beweis uneingeschränkt benutzt werden dürfen und ein für die beabsichtigten Anwendungen geeignetes System logischer Schlußregeln (:= Beweisregeln; logische Ableitungsregeln). Ist Σ eine beliebige Menge von Ausdrücken oder Aussagen aus L und φ ein Ausdruck, dann ist φ aus Σ formal beweisbar (oder ableitbar), wenn es eine endliche Folge (φ1,…,φn) von Ausdrücken aus L so gibt, daß φn = φ, und für jedes φi mit i = 1,…, n eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  1. φi ∈ Ax (φ ist ein logisches Axiom), oder
  2. φi, ∈ Σ (φi gehört zur Menge der Voraussetzungen, aus denen φ bewiesen werden soll), oder
  3. φi, ist eine direkte Konsequenz aus vorhergehenden Folgegliedern, entsprechend der zulässigen Beweisregeln.

(φ1,…, φi) heißt dann Ableitungsfolge oder formaler Beweis von φ aus Σ. In der klassischen zweiwertigen Logik sind (bei geeignetem Axiomensystem Ax) die folgenden beiden Beweisregeln ausreichend:

  • modus ponens (es gibt Indizes j, k < i, so daß φk = φjφi).
  • Generalisierung (es gibt ein j < i und eine Variable x, so daß φi = ∀j).
  • Vernünftige Beweisregeln sind so zu wählen, daß sie von wahren Voraussetzungen zu wahren Behauptungen führen. Das Axiomensystem Ax und die Beweisregeln sollten nach Möglichkeit so gestaltet sein, daß alle Aussagen, die aus Σ inhaltlich folgen, auch formal beweisbar sind (Beweismethoden).

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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