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Lexikon der Mathematik: formales Schema

speziellerCartanscher Raum.

Sei X ein Noethersches Schema und YX ein abgeschlossenes Unterschema. Dann definiert maneinen Cartanschen Raum \(\hat{X}_{Y}\) auf folgende Weise: Der zugrundeliegende topologische Raum sei dervon Y. Ist \(J\subset {{\mathcal{O}}}_{X}\) die Idealgarbe von Y, so sind alle Garben \(\mathcal{O}_{X}/J^{v+1}\) (ν = 0, 1, 2, …) Garben von lokalen Ringen auf Y, und \(\mathcal{O}_{\hat{X}_{Y}}\) wird definiert als \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\overleftarrow{v}}({{\mathscr{O}}}_{X}/{J}^{v+1})\). Der Halm in yY ist also die I-adische Komplettierung des lokalen Ringes \(\mathcal{O}_{X,y},I=J_{y}\).

Ist z.B. X = 𝔸n = 𝔸p × 𝔸q, Y = 𝔸p × 0(über einem Körper K), y = (0, 0), so ist \(\mathcal{O}_{\hat{X_{y,y}}}=\mathcal{O}_{\mathbb{A}^p,0}\Vert x_{p+1},\ldots,x_{n}\Vert\) (formale Potenzreihen in \(x_{p+1},\ldots,x_{n}\) mit Koeffizienten in \(\mathcal{O}_{\mathbb{A}^p,0}\)). Die Schnitte von \(\mathcal{O}_{\hat{X}_{y}}\) heißen daher auch formale Funktionen von X längs Y. Formale Schemata sind Cartansche Räume, die lokal vom Typ \(\hat{X}_{Y}\) sind.

Die Bedeutung der Konstruktion liegt darin, daß \(\hat{X}_{Y}\) alle infinitesimalen Informationen über die Einbettung von Y in X enthält.

Die Inklusionen \(\mathcal{O}_{X,y}\rightarrow \mathcal{O}_{\hat{X}_{Y,y}}\) liefern einen flachen Morphismus Cartanscher Räume \(\hat{X}_{Y}\rightarrow X \) und induzieren einen exakten Funktor \(\mathrm{Coh}(X)\rightarrow \mathrm{Coh}(\hat{X}_{Y})\) für kohärente Garben.

Ein wichtiges Resultat ist Grothendiecks Exi-stenzsatz:

Ist X ein eigentliches Schema über einen Noetherschen Ring A und I ein Ideal in A so, daß A I-adisch komplett ist, und Y ⊂ X Urbild von Spec (A/I) ⊂ Spec (A), so ist der Funktor \(\mathrm{Coh}(X)\rightarrow \mathrm{Coh}(\hat{X}_{Y})\)eine Äquivalenz von Kategorien.

Eine wichtige Anwendung ist der Zariskische Zusammenhangssatz:

Ist φ : XY ein eigentlicher Morphismus Noetherscher Schemata und ist \({\varphi}_{*} \mathcal{O}_{X}=\mathcal{O}_{Y}\), so sind die Fasern von ϕ zusammenhängend.

Der Beweis dieses Satzes war der erste systematische Gebrauch formaler Funktionen in der algebraischen Geometrie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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