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Lexikon der Mathematik: formerhaltende Interpolation

ein Begriff der geometrischen Datenverarbeitung, der die Interpolation unter geometrischen Nebenbedingungen bedeutet.

Beispiele dafür sind die Interpolation der Punkte eines konvexen Polygons durch eine geschlossene konvexe B-Splinekurve, oder die Interpolation von Punkten

\begin{eqnarray}\begin{equation} (x_{1},y_{1}),(y_{2},y_{2}),(y_{3},y_{3}),\ldots \end{equation}\end{eqnarray}

mit x1 < x2 < … und y1 < y2 < … mit Hilfe einer monotonen Splinefunktion f so, daß für alle \(if(x_{i})=y_{i}\)gilt. Da Interpolanten leicht zu Oszillationen neigen, ist es besonders bei Interpolationsproblemen notwendig, Formkriterien einzuhalten.

Der Begriff ‘Form’ kann qualitativ bei Folgen yi von reellen Zahlen und reellwertigen Funktionen f(t) über die Anzahl der Vorzeichenwechsel der ersten Differenzfolgen \(y_{i+1}-y_{i},2y_{i}-y_{i+1}-y_{i-1},\ldots\) bzw. Ableitungsfunktionen f′(t), f″(t), … präzisiert werden. Formbegriffe bei Polygonen und Kurven sind beispielweise die Windungszahl und die Anzahl der Wendepunkte – bei geschlossenen Polygonen bzw. Kurven mit Windungszahl Eins bedeutet Konvexität, daß keine Wendepunkte vorhanden sind.

Quantitativ kann die Form von Kurven oder Flächen beispielsweise durch deren Krümmungen gemessen werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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