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Lexikon der Mathematik: Fortsetzung einer Lösung einer Differentialgleichung

Lösung einer Differentialgleichung, die eine bereits gegebene Lösung (als Menge betrachtet) umfaßt.

Ist y eine auf einem Intervall I ⊂ ℝ definierte Lösung einer Differentialgleichung, so heißt eine auf einem Intervall ĨI definierte Lösung \(\tilde{y}\) dieser Differentialgleichung mit \(\tilde{y}(x)=y(x)(x \in I)\) eine Fortsetzung der Lösung y.

ϕ heißt maximal fortgesetzte Lösung, wenn für jede Lösung \(\psi \mathrm{gilt}\ \psi \supset \phi \Rightarrow \psi =\phi\).

Es sei 𝒟 ⊂ ℝn+1 und f stetig.

  • Ist ϕ im Intervall ξ ≤ x < b eine Lösung der Differentialgleichung \(y^{(n)}=f(x,y,y^{'},\ldots,y^{(n-1)})\), welche ganz in der kompakten Menge \(A\subset {{\mathcal{D}}}_{X}\) verläuft, dann läßt sich ϕ auf das abgeschlossene Intervall [ξ, b] als Lösung fortsetzen.
  • Ist ϕ eine Lösung im Intervall [ξ, b], ψ eine Lösung im Intervall [b, c] und ist ϕ(b) = ψ(b), dann ist die Funktion

    \begin{eqnarray}\lambda(x):=\begin{cases} \phi(x)\ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ \xi \leq x\leq b\\ \psi(x)\ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ b\leq x \leq c \end{cases}\end{eqnarray}

    Lösung im Intervall [ξ, c].

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1996.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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