Lexikon der Mathematik: Fortsetzung von Maßen
Fortsetzung zweier Maße auf die Produkt-σ-Algebra der zugrundeliegenden σ-Algebren.
Es seien X1 und X2 Maßräume mit den zugehörigen σ-Algebren 𝔄1, 𝔄2 und den σ-endlichen Maßen μ1 und μ2. Dann gibt es genau ein Maß μ auf der Menge X1 × X2, versehen mit der Produkt-σ-Algebra 𝔄1 ⊗ 𝔄2, mit der Eigenschaft
\begin{eqnarray}\begin{equation} \mu(A_{1}\times A_{2})=\mu_{1}(A_{1})\cdot \mu_{2}(A_{2}) \end{equation}\end{eqnarray}
für alle A1 ∈ 𝔄1, A2 ∈ 𝔄2. Weiterhin gilt für jedes A ∈ 𝔄1 ⊗ 𝔄2:
\begin{eqnarray}\mu(A)=\int\mu_{2}(A_{x_{1}})d\mu_{1}(x_{1})=\int\mu_{1}(A_{x_{2}})d\mu_{2}(x_{2})\end{eqnarray}
Dabei ist \(A_{x_{1}}=\{x_{2} \in X_{2} \vert (x_{1},x_{2})\in A\}\).Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017
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