Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Fortsetzung von Maßen

Fortsetzung zweier Maße auf die Produkt-σ-Algebra der zugrundeliegenden σ-Algebren.

Es seien X1 und X2 Maßräume mit den zugehörigen σ-Algebren 𝔄1, 𝔄2 und den σ-endlichen Maßen μ1 und μ2. Dann gibt es genau ein Maß μ auf der Menge X1 × X2, versehen mit der Produkt-σ-Algebra 𝔄1 ⊗ 𝔄2, mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\begin{equation} \mu(A_{1}\times A_{2})=\mu_{1}(A_{1})\cdot \mu_{2}(A_{2}) \end{equation}\end{eqnarray}

für alle A1 ∈ 𝔄1, A2 ∈ 𝔄2. Weiterhin gilt für jedes A ∈ 𝔄1 ⊗ 𝔄2:

\begin{eqnarray}\mu(A)=\int\mu_{2}(A_{x_{1}})d\mu_{1}(x_{1})=\int\mu_{1}(A_{x_{2}})d\mu_{2}(x_{2})\end{eqnarray}

Dabei ist \(A_{x_{1}}=\{x_{2} \in X_{2} \vert (x_{1},x_{2})\in A\}\).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos