Koeffizient einer FourierReihe.

Ist f : ℝ ↠ ℝ (bzw. C) 2π-periodisch und über [0, 2π ] integrierbar mit der Fourier-Reihe

\begin{eqnarray} f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx),x\in \mathbb{R}, \end{eqnarray}

so sind die Fourier-Koeffizienten durch

\begin{eqnarray} a_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos kxdx,k\geq 0, \end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray} b_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin kxdx,k\geq 1, \end{eqnarray}

gegeben. In der komplexen Darstellung \(f(x)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}c_{k}e^{ikx}\) gilt

\begin{eqnarray} c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{ikx}dx. \end{eqnarray}

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