Entwicklung einer periodischen Funktion in eine trigonometrische Reihe oder, allgemeiner, bzgl. eines beliebigen Orthogonalsystems.

Sei f : ℝ ↠ ℝ (bzw. ℂ) eine auf dem Intervall [0, 2π] integrierbare 2π-periodische Funktion, d. h. f (x + 2π) = f (x) für x ∈ ℝ. Die Fourier-Reihe \({\mathcal{F}}{\mathcal{R}}(f)\) von f ist definiert durch

\begin{eqnarray}\begin{equation} \mathcal{FR}(f)(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx),x\in \mathbb{R} \end{equation}\end{eqnarray}

mit den Fourier-Koeffizienten a_k und b_k.

Häufig ist die dazu äquivalente (komplexe) Darstellung \(f(x)=\sum_{k\in Z}c_{k}e^{ikx}\) mit Fourier-Koeffizienten

\begin{eqnarray}\begin{equation} c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx \end{equation}\end{eqnarray}

\((c_{0}=a_{0}/2,c_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,c_{-k}=(a_{k}+ib_{k})/2\) für k ≥ 1) vorzuziehen. In Abhängigkeit vom Integralbegriff wird auch von Fourier-Lebesgue-Reihen, Fourier-Riemann-Reihen, etc., gesprochen.

Die Konvergenz der Partialsummen s_nf : ℝ ↠ ℂ,

\begin{eqnarray}\begin{equation} s_{n}f(x)=\sum_{\vert k \vert \leq n}c_{k}e^{ikx},x\in \mathbb{R}, \end{equation}\end{eqnarray}

kann punktweise für jedes x ∈ ℝ oder im Mittel, bzgl. einer L^p-Norm betrachtet werden.

Der Jordan-Test liefert ein einfaches Kriterium für den Nachweis punktweiser Konvergenz. Sei f in [0, 2π] von beschränkter Variation, d. h. es gibt ein M > 0 mit

\begin{eqnarray}\begin{equation} \langle f,g\rangle_{2}=\int_{0}^{2\pi}f(x)\bar{g}(x)dx \end{equation}\end{eqnarray}

Die Funktionen \(e_{k}=e^{ikx}/\sqrt{2\pi}\) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Daraus folgt

\begin{eqnarray}\begin{equation} \lim_{n\rightarrow \infty}\Vert f-\sum_{\vert k \vert \leq}\langle f,e_{k}\rangle e_{k}\Vert_{2}=0 \end{equation}\end{eqnarray}

(Konvergenz im quadratischen Mittel).

Verallgemeinernd wird die Entwicklung einer Funktion bzgl. eines beliebigen vollständigen Orthogonalsystems ebenfalls als Fourier-Reihe bezeichnet.