eine der wichtigsten Integral-Transformationen.

Sei \({\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) der sog. Schwartz-Raum der unendlich oft differenzierbaren und schnell abfallenden Funktionen. Die Fourier-Transformierte \(\hat{f}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{C}\) einer Funktion \(f\in {\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) ist durch

\begin{eqnarray}\begin{equation} \hat{f}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x)e^{ix \cdot \xi}d^{n}x \end{equation}\end{eqnarray}

erklärt, wobei \(x\cdot \xi=x_{1}\xi_{1}+\cdots+x_{n}\xi_{nxs}\). Mit f ∈ \(f\in {\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) ist auch \(\hat{f}\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\) und es gilt:

\(\widehat{D^{\alpha}f}=(ix)^{\alpha}\hat{f}\) für jeden Multiindex α = (α₁, …, αⁿ) ∈ ℕⁿ und

\begin{eqnarray}\begin{equation} D^{\alpha}f=\frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}\cdots \frac{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}f, \end{equation}\end{eqnarray}

bzw.

\begin{eqnarray}\begin{equation} (ix)^{\alpha}=(ix)^{\alpha_{1}}\ldots(ix_{n})^{\sigma_{n}}. \end{equation}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{equation} \widehat{f\star g}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g} \end{equation}\end{eqnarray}

<?PageNum _179 für \(g\in {\mathcal{S}}({{\mathbb{R}}}^{n})\) und das Faltungsprodukt

\begin{eqnarray}\begin{equation} f\star g(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)d^{n}y. \end{equation}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}\vert f(x)\vert^{2}d^{n}x=\int_{\mathbb{R}^{n}}\vert \hat{f}(x)\vert^{2}d^{n}x. \end{equation}\end{eqnarray}

Die Fourier-Transformation \(\mathcal{S}\) ist die lineare und bijektive Abbildung

\begin{eqnarray}\begin{equation} \mathcal{F}:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}),\mathcal{F}f=\hat{f}. \end{equation}\end{eqnarray}

Die Umkehrabbildung \({{\mathcal{F}}}^{-1}\) heißt inverse Fourier-Transformation, \(\tilde{f}={ {\mathcal F} }^{-1}f\) gilt die Umkehrformel

\begin{eqnarray}\begin{equation} F_{c}(\omega):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int^{\infty}_{0}f(t)cos \ \omega t \ dt \end{equation}\end{eqnarray}

mit ω ∈ ℝ heißt Fourier-Cosinus-Transformation oder auch einfach Cosinus-Transformation, und analog

\begin{eqnarray}\begin{equation} F_{s}(\omega):=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int^{\infty}_{0}f(t)sin \ \omega t \ dt \end{equation}\end{eqnarray}

mit ω ∈ ℝ Fourier-Sinus-Transformation oder einfach Sinus-Transformation.