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Lexikon der Mathematik: Fraktal

fraktale Menge, eine Menge, die durch folgende Eigenschaften charakterisiert werden kann:

  • Sie besitzt eine Feinstruktur auf beliebig kleinen Skalen.
  • Sie hat oft nicht ganzzahlige fraktale Dimension, die üblicherweise größer als ihre topologi- sche Dimension ist.
  • Sie wird im Gegensatz zu ihrer scheinbaren Komplexität auf einfache Weise definiert, vielfach rekursiv.
  • Oftmals zeigt sie Selbstähnlichkeit.

Im strengen Sinne heißt bisweilen eine Menge Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension größer als ihre topologische Dimension ist.

Das Wort „Fraktal“ wurde von Mandelbrot in seiner grundlegenden Arbeit eingeführt.

Für tiefergehende Informationen zum Thema verweisen wir auf die bekanntesten Beispiele von Fraktalen, nämlich den Barnsley-Farn, die Can- tor-Fläche, die Cantor-Menge, die Julia-Menge, die Koch-Kurve, und die Mandelbrot-Menge. Weiterhin vergleiche man die Artikel zu den Themen Invariante Maße auf Julia-Mengen und Iteration rationaler Funktionen.

[1] Falconer, K.J.: Fraktale Geometrie: Mathematische Grundlagen und Anwendungen. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1993.
[2] Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D.: Chaos and fractals: new frontiers of science. Springer-Verlag New York, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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