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Lexikon der Mathematik: fraktale Dimension

Oberbegriff für Dimensionen, die im Gegensatz zur topologischen Dimension auch nicht ganzzahlige Werte annehmen können.

Fraktale Dimensionen werden so definiert, daß offene beschränkte Teilmengen des ℝn und n-dimensionale, stetig differenzierbare Mannigfaltigkeiten die fraktale Dimension n erhalten. Dadurch wird sichergestellt, daß die fraktalen Dimensionen Erweiterungen des topologischen Dimensionsbegriffs darstellen. Weitere, von den meisten frak- talen Dimensionen erfüllten Eigenschaften, sind:

  • Monotonie: dim E ≤ dim F für EF.
  • Stabilität: Es gilt \begin{eqnarray}\dim \ (E\cup F)=\max \{\dim E,\dim F\}.\end{eqnarray}
  • Invarianz gegenüber geometrischen Transformationen wie Translation, Rotation, Ähnlichkeitstransformation, affine Transformation.

Wichtige Beispiele für fraktale Dimensionen sind die Hausdorff-Dimension und die Kapazitätsdimension. Dabei gilt für eine Menge F, für die diese Dimensionen definiert sind, stets die Beziehung dimTF ≤ dimHF ≤ dimKapF für ihre topologische, Hausdorff- und Kapazitätsdimension. Die Hausdorff-Dimension hat den Vorteil, daß sie mittels eines Maßes definiert wird, das mathematisch relativ einfach zu handhaben ist, während sie konkret bei Mengen nur schwer berechnet werden kann. Die Kapazitätsdimension kann dagegen durch das log-log-Verhältnis in ihrer Definition bei jeder Menge empirisch abgeschätzt werden. (Ein klassisches Beispiel dafür ist die Küstenlinie Großbritanniens, deren Kapazitätsdimension etwa 1,2 beträgt.) Weitere Beispiele für fraktale Dimensionen sind die Informationsdimension und die Ljapunow-Dimension.

Einige Autoren verwenden den Begriff der fraktalen Dimension als Synonym für die Kapazitätsdimension.

[1] Falconer, K.J.: Fraktale Geometrie: Mathematische Grundlagen und Anwendungen. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1993.
[2] Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D.: Chaos and fractals: new frontiers of science. Springer-Verlag New York, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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