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Lexikon der Mathematik: Frameoperator

zu einem allgemeinen Frame {ϕk|k ∈ ℤ} in einem Hilbertraum H assoziierter Operator

\begin{eqnarray}T:H\rightarrow H,\ Tf:=\frac{2}{A+B}\cdot \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\langle f,\phi_{k}\rangle_{H}\cdot \phi_{k}.\end{eqnarray}

Dabei garantiert die Gültigkeit der oberen Abschätzung

\begin{eqnarray}\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\vert\langle f,\phi_{K}\rangle_{H}\vert^{2}\leq B\cdot \Vert f\Vert_{H}^{2}\end{eqnarray}

die Beschränktheit des Frameoperators, und die untere Abschätzung

\begin{eqnarray}A\cdot \Vert f\Vert_{H}^{2}\leq \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\vert\langle f,\phi_{k}\rangle_{H}\vert^{2}\end{eqnarray}

die Injektivität von T. Beispielsweise kann die Wavelettransformation als Frameoperator interpretiert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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