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Lexikon der Mathematik: Fredholm-Alternative

Satz über den Zusammenhang der Lösung einer Operatorgleichung mit der Lösung ihres zugehörigen dualen Problems.

Im einfachsten Fall eines linearen Gleichungssystems Ax = b besagt der Satz, daß dieses genau dann eindeutig für x lösbar ist, wenn für alle Lösungen y der homogenen dualen Gleichung ATy = 0 die Bedingung bTy = 0 erfüllt ist.

Die Fredholm-Alternative wurde zuerst für Intergralgleichungen der Form

\begin{eqnarray}x(s)-\int\limits_{a}^{b}k(s,t)x(t)dt=b(s)\end{eqnarray}

mit stetigem Kern k auf [a, b] × [a, b] und gesuchter Funktion x(s) in C[a, b] angewandt. Entsprechend ist diese genau dann eindeutig lösbar, wenn für alle Lösungen des dualen homogenen Problems

\begin{eqnarray}y(s)-\int\limits_{a}^{b}k(t,s)y(t)dt=0\end{eqnarray}

die Bedingung

\begin{eqnarray}\int\limits_{a}^{b}b(t)y(t)dt=0\end{eqnarray}

erfüllt ist.

Der Begriff „Alternative“ beruht auf dem Umstand, daß entweder die Gleichung selbst und ihr duales Problem für jede von Null verschiedene rechte Seite eindeutig lösbar ist oder beide nicht. Das Prinzip läßt sich unter anderem anwenden bei Existenzaussagen über Lösungen von Randwertaufgaben gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen unter Verwendung der zugehörigen Greenschen Funktion.

Man vergleiche hierzu auch Fredholm-Theorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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