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Lexikon der Mathematik: Fredholm-Operator

ein stetiger linearer Operator T : XY zwischen Banachräumen mit abgeschlossenem Bild im(T), für den ker(T) und Y/im(T) endlichdimensional sind. Die ganze Zahl

\begin{eqnarray}\mathrm{ind}(T):=\mathrm{dim\ ker}(T)-\mathrm{dim}Y/\mathrm{im}(T)\end{eqnarray}

heißt der Fredholm-Index (kurz Index) von T.

Die Menge Φ(X, Y) aller Fredholm-Operatoren bildet eine offene Teilmenge des Banachraums aller stetigen linearen Operatoren von X nach Y, und ind : Φ(X, Y) → ℤ ist stetig. Das Produkt zweier Fredholm-Operatoren ist wieder ein FredholmOperator, und es gilt ind(T1T2) = ind(T1)+ind(T2).

Für einen kompakten Operator K : XX ist Id+K ein Fredholm-Operator mit Index 0.

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator T : XY genau dann ein Fredholm-Operator, wenn T modulo kompakter Operatoren invertierbar ist, d. h., wenn es Operatoren S1 und S2 von Y nach X gibt, so daß S1T — IdX und TS2 — IdY kompakt sind.

[1] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I. Springer Berlin/Heidelberg, 1986.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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