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Lexikon der Mathematik: Fredholm-Theorie

Theorie zur Lösung linearer Integralgleichungen. Gegeben sei die lineare Integralgleichung zweiter Art

\begin{eqnarray}y(s)-\lambda\int\limits_{a}^{b}K(s,t)y(t)dt=f(s)\end{eqnarray}

mit der unbekannten Funktion y. Dabei heißt K(s, t) der Kern der Integralgleichung. Bezeichnet D(λ) die Fredholmsche Determinante des Kerns und R(s, t, λ) die Resolvente des Kerns, so kann man die Lösbarkeit der Integralgleichung durch die drei Fredholmschen Sätze beschreiben.

Ist D(λ) ≠ 0, so besitzt die Integralgleichung

\begin{eqnarray}y(s)-\lambda\int\limits_{a}^{b}K(s,t)y(t)dt=f(s)\end{eqnarray}

genau eine Lösung, die man darstellen kann als

\begin{eqnarray}y(s)=f(s)+\int\limits_{a}^{b}R(s,t,\lambda)f(t)\ dt.\end{eqnarray}

Ist λ eine Nullstelle m-ter Ordnung von D, so hat die homogene Gleichung

\begin{eqnarray}y(s)-\lambda\int\limits_{a}^{b}K(s,t)y(t)dt=0\end{eqnarray}

mindestens eine und höchstens m linear unabhängige Lösungen. Weiterhin besitzt die sogenannte transponierte homogene Gleichung

\begin{eqnarray}z(t)-\lambda\int\limits_{a}^{b}K(s,t)z(s)ds=0\end{eqnarray}

die gleiche Anzahl linear unabhängiger Lösungen.

Ist λ eine Nullstelle von D, so existieren genau dann Lösungen der inhomogenen Gleichung

\begin{eqnarray}y(s)-\lambda\int\limits_{a}^{b}K(s,t)y(t)dt=f(s),\end{eqnarray}

wenn f(s) mit allen linear unabhängigen Lösungen zν(s) der transponierten homogenen Integralgleichung die Beziehung

\begin{eqnarray}\int\limits_{a}^{b}f(s)z_{v}(s)\ ds=0\end{eqnarray}

erfüllt. In diesem Fall erhält man die allgemeine Lösung der Integralgleichung, indem man zu einer beliebig gewählten speziellen Lösung die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Integralgleichung addiert.

(Fredholm-Alternative).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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