Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: freie Gruppenoperation

Operation der algebraischen Gruppe G auf der algebraischen Varietät X so, daß die kanonische Abbildung G × XX × X, (g, x) → (g(x), x) eine abgeschlossene Einbettung ist.

Wenn X = Spec(A) ein affines K-Schema ist und G = SpecK[G] eine affine algebraische Gruppe über K, K ein Körper, die auf X operiert, dann ist die Operation frei genau dann, wenn die kanonische Abbildung AKAAKK[G] surjektiv ist.

Eine schwächere Bedingung ist die mengentheoretische Freiheit der Gruppenoperation:

\begin{eqnarray}G_{x}=\{g\in G\vert g(x)=x\}=\{\mathrm{id}\}\end{eqnarray}

für alle xX.

So ist z. B. die Operation der additiven Gruppe von ℂ auf der Menge

\begin{eqnarray}t(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1},x_{2}+tx_{1},x_{3}+tx_{2}+\frac{1}{2}t^{2}x_{1})\end{eqnarray}

mengentheoretisch frei, aber nicht frei im hier betrachteten Sinne.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos