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Lexikon der Mathematik: freie Schwingung

eine Schwingung, die von keiner äußeren Kraft beeinflußt wird.

Die Schwingung eines Federpendels wird durch die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

\begin{eqnarray}my^{\prime\prime}(t)+by^{\prime}(t)+cy(t)=F(t)\end{eqnarray}

beschrieben. Dabei ist y(t) die Auslenkung, m die Pendelmasse, b der Reibungsfaktor, c die Federkonstante und F(t) eine von außen auf das System einwirkende zeitabhängige Kraft. Wirkt nun keine Kraft von außen, das heißt gilt F(t) = 0, so spricht man von einer freien Schwingung. Man unterscheidet dabei zwischen der freien ungedämpften Schwingung, bei der das System auch keiner Reibung unterliegt, und der freien gedämpften Schwingung, bei der Reibung vorhanden ist. Die freie ungedämpfte Schwingung hat also die Gleichung

\begin{eqnarray}my^{\prime\prime}+cy=0,\end{eqnarray}

während die freie gedämpfte Schwingung die Gleichung

\begin{eqnarray}my^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0\end{eqnarray}

hat. Daher werden freie Schwingungen stets durch lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben, deren Lösungen mit Hilfe des jeweiligen charakteristischen Polynoms berechnet werden können. In beiden Fällen bezeichnet man die Größe \(\omega=\sqrt{\frac{c}{m}}\) als Kreisfrequenz der Schwingung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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