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Lexikon der Mathematik: Frenetsche Formeln

die Darstellung der Ableitungen \(\dot{\mathfrak{t}}(s),\dot{\mathfrak{n}}(s),\dot{\mathfrak{b}}(s)\) der drei Vektoren des begleitenden Dreibeins einer regulären Raumkurve α(s) als Linearkombination von \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\) und \({\mathfrak{b}}(s)\).

Bildet man die Ableitungen in bezug auf den Bogenlängenparameter s, so lauten die Frenetschen Formeln

\begin{eqnarray}\begin{matrix}\dot{\mathfrak{t}}(s)= & & \kappa(s)\mathfrak{n}(s)& \\ \dot{\mathfrak{n}}(s)= & -\kappa(s)\mathfrak{t}(s) & & +\tau(s)\mathfrak{b}(s)\\ \dot{\mathfrak{b}}(s)= & & -\tau(s)\mathfrak{n}(s), & \end{matrix}\end{eqnarray}

wobei κ(s) und τ(s) die Funktionen der Krümmung bzw. Windung von q(s) sind.

Sie gestatten es, zu gegebener Krümmung und Windung die zugehörige Kurve α(s) zu bestimmen. Sind nämlich κ (s) und τ (s) differenzierbare Funktionen, wobei κ(s) als positiv vorauszusetzen ist, so ist (1) ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen für die Vektoren \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\), \({\mathfrak{b}}(s)\).

Zu jedem als Anfangswert vorgegebenen orthogonalen Dreibein \({\mathfrak{t}}_{0}\), \({\mathfrak{n}}_{0}\), \({\mathfrak{b}}_{0}\) von ℝ3 gibt es genau eine in einer Umgebung eines Punktes s0 ∈ ℝ definierte Lösung \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\), \({\mathfrak{b}}(s)\) von (1), die die Anfangsbedingungen \({\mathfrak{t}}({s}_{0})={{\mathfrak{t}}}_{0}\), \({\mathfrak{n}}({s}_{0})={{\mathfrak{n}}}_{0}\), \({\mathfrak{b}}({s}_{0})={{\mathfrak{b}}}_{0}\) erfüllt.

Durch Integration der Vektorfunktion \({\mathfrak{t}}(s)\) erhält man eine reguläre Kurve α(s) mit der Krümmung κ(s) und der Windung τ(s), für die s der Bogenlängenparameter und \({\mathfrak{t}}(s)\), \({\mathfrak{n}}(s)\), \({\mathfrak{b}}(s)\) das begleitende Dreibein ist. Die Kurve α(s) ist bis auf die Wahl einer Integrationskonstante und der Anfangswerte \({\mathfrak{t}}_{0}\), \({\mathfrak{n}}_{0}\), \({\mathfrak{b}}_{0}\) eindeutig bestimmt.

Diese Gleichungen besitzen Verallgemeinerungen für Kurven im n-dimensionalen Euklidischen Raum ℝn und in beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (verallgemeinerte Frenetsche Formeln).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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