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Lexikon der Mathematik: Friedrichs-Fortsetzung

eine bestimmte selbstadjungierte Fortsetzung eines halbbeschränkten symmetrischen Operators.

Sei T : H ⊃ D(T) → H ein in einem Hilbertraum H dicht definierter symmetrischer Operator mit

\begin{eqnarray}\langle Tx,x\rangle \geq C\langle x,x\rangle \quad\forall x\in \mathrm{D}(T)\end{eqnarray}

für eine gewisse Konstante C. Durch folgendes Verfahren wird eine selbstadjungierte Fortsetzung S : H ⊃ D(S) → H von T definiert, die die zu (1) analoge Abschätzung mit derselben Konstanten C erfüllt; S heißt Friedrichs-Fortsetzung von T.

Ohne Einschränkung ist C = 1. Auf D(T) definiert [x, y] = ⟨Tx, y⟩ ein Skalarprodukt; die Vervollständigung von D(T) bzgl. dieses Skalarprodukts sei K. K kann dann kanonisch mit einem Unterraum von H identifiziert werden, und S ist auf

\begin{eqnarray}\mathrm{D}(S)=\mathrm{D}(T^{*})\cap K\end{eqnarray}

durch Sx = T*x erklärt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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