Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Frobenius-Mannigfaltigkeit

ein allgemeines Konzept, um 1991 von Dubrovin eingeführt, das einen Rahmen bildet für das Studium des Gromov-Witten-Potentials.

Für eine komplexe Mannigfaltigkeit H sei ΘH die Tangentialgarbe (Garbe der Vektorfelder). Die Struktur einer Frobenius-Mannigfaltigkeit auf H ist durch folgende Daten gegeben:

  1. (1) Ein kommutatives und assoziatives Produkt \(\Theta_{H}\otimes \mathcal{O}_{H}\Theta_{H} \rightarrow \Theta_{H}\), \(X\otimes Y \mapsto X\circ Y\) so, daß ΘH eine Garbe von kommutativen \(\mathcal{O}_{H}\)-Algebren mit Einselement ist. Der Einschnitt wird mit e bezeichnet.
  2. (2) Eine quadratische Struktur, d. h. eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform \(\Theta_{H}\rightarrow \mathcal{O}_{H}\), \(X \otimes Y \mapsto g(X,Y)\). Diese soll folgende Bedingungen erfüllen:
  3. (i) Der zu g gehörige Levi-Civita-Zusammenhang ▽ ist flach.
  4. (ii) A(X, Y, Z) =: g(XY, Z) ist symmetrischer (3, 0)-Tensor, und ▽A ist symmetrischer (4, 0)- Tensor.
Hierbei werden \(\mathcal{O}_{H}\)-lineare Abbildungen \(T:\Theta_{H}^{\otimes p}\rightarrow \Theta_{H}^{\otimes q}\) als (p, q)-Tensoren bezeichnet, und die kovarianate Ableitung (resp. die Lie-Ableitung) wird definiert durch \begin{array} (\nabla^{T})(X_{0}\otimes\cdots\otimes X_{p})=\nabla_{X_{0}}(T(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p})) -T(\nabla_{X_{0}}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p})). \end{array}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos