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Lexikon der Mathematik: Frobenius, Satz von, für partielle Differentialgleichungen

Aussage über die Existenz einer Lösung u(x1, …, xn) des Anfangswertproblems \begin{array}{rcl}u_{x_{i}} & = & f_{i}(x_{1},\ldots,x_{n},u),i=1,\ldots,n\\u(\xi) & = & \eta \end{array} mit ξ ∈ ℝn, η ∈ ℝ. Der Satz liefert als notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz einer eindeutigen Lösung u in einer hinreichend kleinen Umgebung von (ξ, η) die Bedingung \begin{equation} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial f_{i}}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_{j}}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f_{j}}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_{i}} \end{equation} für alle i, j = 1, …, n in dieser Umgebung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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