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Lexikon der Mathematik: Fubini, Ableitungssatz von

besagt, daß die punktweise konvergente Reihe einer Folge von auf einem Intervall definierten Funktionen, die alle isoton oder alle antiton sind, fast überall (also mit Ausnahme höchstens einer Nullmenge) differenzierbar und die Ableitung der Reihe gleich der Reihe der Ableitungen ist.

Genauer gilt: Ist I ⊂ ℝ ein Intervall und (fn) eine Folge von isotonen Funktionen fn : I → ℝ, für die die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}(x)\) für alle xI konvergiert, und definiert man \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) durch \begin{equation} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x), \end{equation} so ist f fast überall differenzierbar mit \begin{equation} f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f^{\prime}_{n}(x). \end{equation}

Man beachte dabei, daß die Funktionen fn aufgrund ihrer Isotonie auf abgeschlossenen Interval-len von endlicher Totalvariation sind, daher jedevon ihnen nach dem Ableitungssatz von Lebesguefast überall differenzierbar ist und somit, da die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen eine Null-menge ist, die Reihe \({\sum}_{n=1}^{\infty}f^{\prime}_{n}(x)\) fast überall definiert ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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