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Lexikon der Mathematik: Fubini, Satz von

auch Satz von Fubini-Tonelli genannt, Aussage über zweifache Lebesgue-Integrale.

Es seien \((\Omega_{i},\mathcal{A}_{i},\mu_{i})\)für i = 1, 2 zwei σ-endlicheMaß-Räume und \((\Omega_{1}\times \Omega_{2},\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}_{2},\mu_{1}\otimes \mu_{2})\)derzugehörige Produkt-Maßraum.

  1. (a) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine nichtnegative \(\mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2}\)-meßbare Funktion und \(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{2}(\omega_{2})\)bzw. \(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d \mu_{1}(\omega_{1})\mathcal{A}_{1}\)-meßbar bzw.\(\mathcal{A}_{2}\)-meß-bar sind, gilt \begin{eqnarray} \int fd(\mu_{1}\otimes \mu_{2})&=&\int\left(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{2}(\omega_{2})\right)d \mu_{1}(\omega_{1})\\ & = &\int\left(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{1}(\omega_{1})\right)d \mu_{2}(\omega_{2}). \end{eqnarray}
  2. (b) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine bzgl. (μ1μ2) in-tegrierbare Funktion ist, ist f μ1-fast überall μ2-integrierbar und μ2-fast überall μ1-integrierbar, und ∫f(ω1, ω2)2(ω2) bzw. ∫f(ω1, ω2)1(ω1)sind μ1- bzw. μ2-fast überall definiert sowie μ1-bzw. μ2-integrierbar. Weiterhin gilt die Gleichheitder Integrale aus (a).
  3. (c) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine \((\mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2})\)-meß-bare Funktion ist, und falls eines der Integrale ∫|f|d(μ1μ2), (|f|1)1) endlich ist, sind alle drei Integrale endlich, f ist (μ1μ2)-integrierbar, und es gilt die Gleichheit der Integrale aus (a).

Der Satz gilt auch für das Produkt von endlich vielen Maßräumen, sowie auch für die Vervollständigung der Maßräume und ihres Produkts.

Eine Folge des Satzes ist die Aussage: Falls \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) ein σ-endlicher Maßraum ist, f : Ω → ℝ+ eine meßbare nichtnegative Funktion und ϕ : ℝ+ → ℝ+ eine stetige isotone Funktion mit ϕ(0) = 0, die auf ℝ+\{0} differenzierbar ist, gilt \begin{equation} \int(\phi \circ f)d\mu =\underset{{0,\infty}}\int\phi^{\prime}(t)\mu(\{f\geq t\})d\lambda(t), \end{equation} wobei λ das Lebesgue-Maß ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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