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Lexikon der Mathematik: Fundamentallösung einer partiellen Differentialgleichung

spezielle Distributionen u(x), die einer Gleichung Lu(x) = δ(x) mit linearem partiellem Differentialoperator L und der Dirac-Funktion δ genügen.

Man kann zeigen, daß jeder lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt. Addiert man zu einer Fundamentallösung eine Lösung der homogenen Gleichung Lu = 0, so erhält man wieder eine Fundamentallösung.

Beispielsweise ergibt sich für den räumlichen Laplace-Operator Δu = uxx + uyy + uzz die Fundamentallösung \begin{equation} u_{\delta}=-\frac{1}{4\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\end{equation} was physikalisch z.B. dem elektrischen Potential einer Einheitsladung im Koordinatenursprung entspricht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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