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Lexikon der Mathematik: Fundamentalsatz der Algebra

ein, wie der Name schon sagt, fundamentales Resultat der Mathematik, das aus historischen Gründen der Algebra zugerechnet wurde, aber in moderner Sichtweise auch der Funktionentheorie angehört.

Der Fundamentalsatz lautet:

Jedes Polynom \begin{equation} p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n} \end{equation}mit komplexen Koeffizienten a0, a1, …, an, an ≠ 0, n ≥ 1 besitzt mindestens eine Nullstelle z0 ∈ ℂ.

Algebraisch ausgedrückt bedeutet der Satz: Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

Der Satz ist äquivalent zum sog. Faktorisierungssatz: Jedes Polynom der Form (1) ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig darstellbar als Produkt \begin{equation} p(z)=a_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}(z-z_{2})^{m_{2}}\cdots (z-z_{r})^{m_{r}}, \end{equation} wobei z1, …, zr ∈ ℂ paarweise verschieden, m1, …, mr ∈ ℕ und m1 + … + mr = n.

Hieraus folgt, daß jedes Polynom mit reellen Koeffizienten a0, a1, …, an eindeutig darstellbar ist als Produkt reeller Linearfaktoren und reeller quadratischer Polynome.

Aus dem Faktorisierungssatz erhält man die Formel \begin{equation} \frac{p^{\prime}(z)}{p(z)}=\sum^{n}_{\nu=1}\frac{1}{z-\zeta_{\nu}}=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{\bar{z-\zeta_{\nu}}}{\vert z-\zeta_{\nu}\vert^{2}}, \end{equation} wobei ζ1, …, ζn die nicht notwendig verschiedenen Nullstellen von p sind, d. h. jede Nullstelle ζj wird so oft aufgeführt, wie ihre Nullstellenordnung mj angibt. Aus dieser Darstellung erhält man leicht den Satz von Gauß-Lucas:

Zu jeder Nullstelle ζ von pgibt es Zahlen λ1, …, λn ≥ 0 mit \begin{equation} \sum_{\nu=1}^{n}\lambda_{\nu}=1\ \ \ und\ \ \ \xi=\sum_{\nu=1}^{n}\lambda_{\nu}\zeta_{\nu} \end{equation}

Dies bedeutet, daß die Nullstellen von p′ in der konvexen Hülle der Nullstellenmenge von p liegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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