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Lexikon der Mathematik: Fundamentalsystem irreduzibler Darstellungen

System irreduzibler linearer Darstellungen D(i) (i durchläuft eine Indexmenge) einer Gruppe G, aus dem andere lineare Darstellungen D von G durch Bildung einer direkten Summe ⊕iD(i) gewonnen werden können.

Ist andererseits eine lineare Darstellung \([\hat{D}]\) einer Gruppe \([\hat{G}]\) gegeben, dann stellt sich die Frage, ob \([\hat{D}]\) in Form einer direkten Summe \([{{\oplus }_{k}}{{\hat{D}}^{(k)}}]\) (Darstellungsreihe, Klebsch-Gordan-Reihe) dargestellt werden kann. Z. B. ist das für endlichdimensionale unitäre Darstellungen der Fall.

Darstellungen von Gruppen kann man aus Darstellungen von Algebren durch Exponentiation gewinnen. Einige Begriffe sollen hier im Zusammenhang mit den endlichdimensionalen, unitären Darstellungen der für die Elementarteilchenphysik wichtigen Gruppe SU(3) erläutert werden.

Die zugehörige Algebra wird (nach Cartan) mit A2 bezeichnet. A2 ist vom Rang 2, d.h. daß ihre Cartansche Subalgebra \(\mathcal{C}\) die Dimension 2 hat, wobei wiederum unter Cartan-Algebra eine maximale abelsche (Sub-)Algebra verstanden wird, deren Elementen in irgendeiner Darstellung über einem komplexen linearen Raum diagonalisierbare Operatoren zugeordnet werden.

Die Vertauschungsrelationen zwischen den Erzeugern von A2 werden durch die acht (3 × 3)-Matrizen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\lambda_{1}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix},\lambda_{2}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&-i&0\\ i&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\\ \lambda_{3}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},\lambda_{4}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix},\\ \lambda_{5}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&0&i\\ 0&0&0\\ i&0&0 \end{pmatrix},\lambda_{6}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix},\\ \lambda_{7}=-\frac{i}{2}\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0 &0& -i\\ 0& i & 0 \end{pmatrix},\lambda_{8}=-\frac{i}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-2 \end{pmatrix} \end{array}\end{eqnarray} erfüllt.

Mit \begin{equation} T(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{8})=e^{\sum_{k=1}^{8} \alpha_{k}\lambda_{k}} \end{equation} (αi reelle Zahlen) erhält man die sogenannte 3-Darstellung von SU(3) durch (3 × 3)-Matrizen. Die Elemente der dazu adjungierten Darstellung (\(\bar{3}\)-Dar-stellung) sind durch \begin{equation} \bar{T}(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{8})=e^{-\sum_{k=1}^{8}\alpha_{k}\lambda_{k}^{t}} \end{equation} gegeben.

Die 3- und \(\bar{3}\)-Darstellung sind die Fundamentaldarstellungen von SU(3). Manchmal wird auch nur die 3-Darstellung als fundamental bezeichnet, weil man ja die \([\bar{3}]\)-Darstellung aus ihr erzeugen kann.

Durch Bildung direkter Produkte kann aus den beiden fundamentalen Darstellungen eine neue Darstellung erzeugt werden, die vollständig redu- zibel ist.

Der Darstellungsraum der fundamentalen Darstellungen von SU(3) ist dreidimensional. Seinen Basisvektoren werden drei Zustände des sogenannten Quark-Feldes zugeordnet. Um Schwierigkeiten mit dem Pauli-Verbot zu überwinden, mußten drei Exemplare von SU(3) in die Theorie eingebaut werden, die mit r, g, b gekennzeichnet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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