Verallgemeinerung des Begriffs des Ringoids (Zahlenraster) auf Funktionen.

Sei \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M}}\end{eqnarray}\) ein separabler Hilbertraum über einem Körper \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}}\end{eqnarray}\) mit Basis \(\Phi_{n}:=\{\phi_{i}\}_{i=0}^{\infty }\) und \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M_{n}}}\end{eqnarray}\) der von \(\Phi_{n}:=\{\phi_{i}\}_{i=0}^{n}\) aufgespannte Unterraum. Eine Abbildung S_n : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M_{n}}}\end{eqnarray}\) mit der Eigenschaft \(\forall f \in \mathcal{M}_{n}:S_{n}(f)=f\) heißt eine Rundung. Operationen wie +, –, ·, / werden in \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M_{n}}}\end{eqnarray}\) definiert mittels eines Semimorphismus (Zahlenraster) durch \(\begin{eqnarray}\forall f,g\in { {\mathcal M} }_{n}:{\forall }_{\text{o}}\in \{+,-,\cdot,/\}:f{\text{o}}_{n}g:={S}_{n}(f\text{o}g)\end{eqnarray}\), wo-bei o_n die jeweils in \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M_{n}}}\end{eqnarray}\) zu erklärende Operation bezeichnet. \((\mathcal{M}_{n},+_{n},-_{n},._{n},/_{n},\cdots)\) mit eventuellen weiteren semimorph definierten Operationenheißt dann Funktoid.

Das Rechnen in Funktoiden reduziert sich auf das Rechnen im isomorphen \(\begin{eqnarray}{{\mathbb{K}}}^{n}\end{eqnarray}\), da jedes f ∈ \(\begin{eqnarray}{\mathcal{M}}\end{eqnarray}\) eine eindeutige Darstellung Σa_iφ_i hat mit Koeffizienten a_i ∈ \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}}\end{eqnarray}\). Funktoide lassen sich unter anderem durch Anwendung bekannter Approximationsver-fahren (z. B. Tschebyschew-Approximation) gewinnen. Anwendungen findet man vor allem für Integralgleichungen.

[1] Kaucher, E; Miranker, W.: Self-Validating Numerics for Function Space Problems. Academic Press New York,1983.