ein Morphismus von Kategorien.

Sind \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\) zwei Kategorien, so definiert einFunktor F : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\) eine Abbildung \begin{eqnarray}F:Ob({\mathcal{C}})\to Ob({\mathcal{D}}),\,\,\,\,A\mapsto F(A)\end{eqnarray} auf der Klasse der Objekte (die Objektabbildung) von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) und jeweils eine Abbildung für jedes Paar von Objekten (A, B) aus \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) auf der Morphismenmenge \begin{equation} F:Mor(A,B)\rightarrow Mor(F(A),F(B)). \end{equation} Die Morphismenabbildung erfüllt folgende Bedingungen:

1. Für den Identitätsmorphismus gilt \begin{equation} F(1_{A})=1_{F(A)}. \end{equation}
2. Für alle Morphismen f und g, für welche die Verknüpfung f o g definiert ist, gilt eine der beiden Bedingungen \begin{align} & (a)\qquad F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)\ \,\,\,{oder}\\ & (b)\qquad F(f\circ g)=F(g)\circ F(f). \end{align} Der Funktor heißt kovariant, falls (a) gilt. Er heißt kontravariant, falls (b) gilt.

Sind T : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\) und S : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{D}}\end{eqnarray}\) → ϵ zwei Funktoren, so definiert die Hintereinanderausführung der Abbildungen in natürlicher Weise einen Funktor \begin{equation} S\circ T :\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{E}. \end{equation} das Kompositum der Funktoren. Die Kompositionsbildung ist assoziativ.

Das einfachste Beispiel eines Funktors ist der Identitätsfunktor \(\begin{eqnarray}{1}_{{\mathcal{C}}}\end{eqnarray}\) : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) → \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\) einer Kategorie \(\begin{eqnarray}{\mathcal{C}}\end{eqnarray}\). Er ist sowohl auf der Klasse der Objekte als auch auf den Morphismenmengen die Identität.

Der Begriff des Funktors entstand in der algebraischen Topologie. Ein wichtiges Beispiel ist der Funktor der n-ten singulären Homologie H_n (n ∈ ℕ₀). Er ist definiert auf der Kategorie der topologischen Räume (mit den stetigen Abbildungen als Morphismen) und besitzt seine Werte in der Kategorie der abelschen Gruppen (mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen). Er ordnet jedem topologischen Raum seine n-te singuläre Homologiegruppe und jeder stetigen Abbildung die induzierte Abbildung auf der Homologiegruppe zu.

Funktoren sind in vielen Gebieten der Mathematik zu finden. Ein weiteres Beispiel: Es sei Grp die Kategorie der Gruppen. Für G ∈ Ob(Grp) sei [G, G] der Kommutatornormalteiler. Die Abbildung G → G_ab : = G/[G, G], die jeder Gruppe ihre Abelisierung zuordnet, definiert einen Funktor von der Kategorie der Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen. Jeder Gruppenhomomorphismus φ : G → H induziert in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus φ_ab : G_ab → H_ab aufden Abelisierungen. Die Morphismenabbildungen des Funktors sind gegeben durch die Zuordnung φ → φ_ab.