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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Äquivalenzrelation

unscharfe Äquivalenzrelation, unscharfe Ähnlichkeitsrelation, eine Fuzzy-Relation, die reflexiv, symmetrisch und max-min-transitiv ist.

Dabei ist eine Fuzzy-Relation \(\widetilde{R}\) auf \(X \times X\) max-min-transitiv, wenn gilt \begin{equation} \mu_{R}(x,z)\geq \text {min}\{\mu_{R}(x,y).\mu_{R}(y,z)\} \end{equation} für alle (x, y, z) ∈ X3.

Da die max-min-Transitivität fordert, daß die Strenge der direkten Verbindung zwischen zwei Elementen x und z mindestens so streng ist wie die Strenge jedes einzelnen Verbindungstücks auf der indirekten Verbindung, wird diese Bedingung von manchen Autoren als zu restriktiv angesehen. Sie schlagen u. a. vor, den min-Operator durch die beschränkte Differenz unscharfer Mengen, das arithmetische Mittel, den max-Operator oder die algebraische Summe zu ersetzen, und erhalten andere Definitionen für die Transitivität.

Die Verwendung der beschränkten Differenz führt zur Transitivitätsbedingung \begin{equation} \mu_{L}(x,z)\leq \max\{0,\mu_{L}(x,y)+\mu_{L}(y,z)-1\} \end{equation} für alle (x, y, z) ∈ X3.

Eine reflexive und symmetrische Fuzzy-Relation, die dieser Transitivitätsbedingung genügt, wird auch als Likeness Relation bezeichnet. Diese Ähnlichkeitsrelation hat den Vorteil, daß die dazu analoge Abstandsrelation \begin{equation} d(x,z)=1-\mu_{L}(x,z) \end{equation} eine Pseudometrik bildet, denn d(x, z) genügt der Dreiecksungleichung \begin{align} d(x,z)& \leq \min(1,d(x,y)+d(y,z))\\ &\leq d(x,y)+d(y,z) \end{align}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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