Erweiterung einer binären Relation auf die Situation der Fuzzy-Zahlen.

Mit Hilfe des Erweiterungsprinzips kann eine binäre Operation * in ℝ erweitert werden zu einer Operation ⊛, mit der zwei Fuzzy-Zahlen oder zwei Fuzzy-Intervalle miteinander verknüpft werden. Die so gebildete Fuzzy-Menge \(\begin{eqnarray}\tilde{M} \circledast \tilde{N}\end{eqnarray}\) auf ℝ hat dann die Zugehörigkeitsfunktion \begin{equation} \mu_{M*N}(z)=\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:z=x*y}\min(\mu_{M}(x),\mu_{N}(y)), \end{equation} falls z ∈ ℝ darstellbar ist als z = x * y, sonst ist μ_M*N(z) = 0.

Aus der Definition folgt unmittelbar, daß

• für jede kommutative Operation * auch die erweiterte Operation ⊛ kommutativ ist, und
• für jede assoziative Operation * auch die erweiterte Operation ⊛ assoziativ ist.

Speziell lassen sich die Grundrechenarten auf Fuzzy-Zahlen und Fuzzy-Intervalle erweitern, indem als binäre Operationen die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division gewählt werden:

Erweiterte Addition: Die Summe \(\begin{eqnarray}\tilde{M}\oplus \tilde{N}\end{eqnarray}\) zweier Fuzzy-Mengen \(\tilde{M}\) und \(\tilde{N}\) auf ℝ wird definiert durch \begin{equation} \mu_{M+N}(z)=\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:z=x+y}\min(\mu_{M}(x),\mu_{N}(y)). \end{equation}<?PageNum _215Erweiterte Subtraktion: Die Differenz \(\tilde{M}\ominus \tilde{N}\) zweier Fuzzy-Mengen \(\tilde{M}\) und \(\tilde{N}\) auf ℝ wird definiert durch \begin{equation} \mu_{M-N}(z)=\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:z=x-y}\min(\mu_{M}(x),\mu_{N}(y)). \end{equation}Erweiterte Multiplikation: Das Produkt \(\tilde{M}\odot \tilde{N}\) zweier Fuzzy-Mengen \(\tilde{M}\) und \(\tilde{N}\) auf ℝ wird definiert durch \begin{equation} \mu_{M\cdot N}(z)=\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:z=x\cdot y}\min(\mu_{M}(x),\mu_{N}(y)). \end{equation}Erweiterte Division: Der Quotient \(\tilde{M}\oslash \tilde{N}\) zweier Fuzzy-Mengen \(\tilde{M}\) und \(\tilde{N}\) auf ℝ wird definiert durch \begin{equation} \mu_{M/N}(z)=\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:z=\frac{x}{y}}\min(\mu_{M}(x),\mu_{N}(y)). \end{equation} Die Zugehörigkeitsfunktionen μ_M*N(z) lassen sich beliebig genau mittels α-Schnitten (α-Niveau-Mengen) berechnen. Der Rechenaufwand läßt sich aber beträchtlich reduzieren, wenn L-R-Fuzzy-Zahlen, L-R-Fuzzy-Intervalle oder Fuzzy-Intervalle vom ϵ-λ-Typ arithmetisch verknüpft werden.

Die erweiterte Addition ⊕ und die erweiterte Multiplikation ⊙ lassen sich unmittelbar auf mehr als zwei Summanden oder Produkte erweitern.