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Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Inferenz

hat das fuzzy-logische Schließen auf unscharfen Informationen zum Inhalt; hier wird Fuzzy-Logik als Syllogistik aufgefaßt.

Dabei besteht eine Inferenz aus einer oder mehreren Regeln, Implikationen genannt, einem Faktum, das einen konkreten Zustand feststellt, und einem Schluß, der das Faktum unter Berücksichtigung der Implikation(en) durch ein neues Faktum ersetzt.

Das nachfolgende Beispiel über die Relation zwischen Farbe und Reifegrad von Tomaten läßt erkennen, daß diese Art von unscharfem Schließen nicht mit der klassischen Logik beschrieben werden kann.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Fuzzy-Inferenz
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Modelliert man aber die linguistischen Variablen Farbe und Reifegrad in Form von Fuzzy-Mengen \(\tilde{F}=\{(x,\mu_{F}(x))\vert x\in M_{1}\}\) bzw. \(\tilde{G}=\{(x,\mu_{G}(y))\vert\,y\in M_{2}\},\) und die unscharfe Implikation durch eine Fuzzy-Relation \begin{equation} \tilde{R}=\{((x,y),\mu_{R}(x,y))\vert (x,y)\in M_{1}\times M_{2}\}, \end{equation} so läßt sich das Fuzzy-Inferenz-Bild beschreiben durch \begin{align} & \tilde{G}=\{y,\mu_{G}(y))\vert & \mu_{G}(y)=\max_{x \in M_{1}}\min(\mu_{F}(x),\mu_{R}(x,y))\,\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\,\ y \in M_{2}\}. \end{align} Da es in der Praxis aber kaum möglich ist, adäquate Fuzzy-Relationen anzugeben, verwendet man bei Fuzzy-Logik-Anwendungen scharfe Relationen zwischen linguistischen Variablen, die in Form von Regelsätzen dargestellt werden. Eine einfache Regelbasis für das Beispiel Farbe-Reifegrad-Relation von Tomaten ist:

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Fuzzy-Inferenz
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Der „WENN , DANN “-Operator auf unscharfen Informationen entspricht dabei dem kartesischen Produkt von Fuzzy-Mengen, so- daß die Wahrheitswerte mit dem min-Operator ermittelt werden.

Die ersten Ideen zu Anwendungen der Fuzzy-Inferenz für die Steuerung komplexer Prozesse wurden schon 1974 von Mamdani und Assilan vorgeschlagen. Mamdani war auch an der ersten industriellen Anwendung zur Steuerung von Zementbrennöfen bei der Firma F.L. Smidth & Co., Dänemark, Ende der 70er Jahre beteiligt. Einen größeren Bekanntheitsgrad erhielten die mit dem Namen Fuzzy-Control bezeichneten regelbasierten Steuerungsverfahren in der zweiten Hälfte der 80er Jahre in Japan. In Europa und Amerika wurden die Vorteile der auf Fuzzy-Inferenz basierenden Steuerungssysteme erst ab 1992 erkannt und in der Produktion in stärkerem Maße eingesetzt.

Mit Hilfe der Fuzzy-Inferenz lassen sich aber auch Expertenregeln modellieren und verarbeiten, die bei der Lösung ökonomischer und juristischer Entscheidungs- und Bewertungsprobleme Verwendung finden. Rommelfanger stellte 1991 ein hierarchisches System zur Bewertung der Kreditwürdigkeit mittelständischer Unternehmen vor, bei dem die Bewertungen schrittweise regelbasiert mit Fuzzy-Logik erfolgen. Analoge Systeme wurden u. a. für die Unterstützung von Portfolioentscheidungen, zur Bewertung von Lieferanten, zur Festlegung von Bußgeldbescheiden und zur Durchführung analytischer Prüfungshandlungen von Wirtschaftsprüfern entwickelt. Diese regelbasierten Fuzzy-Logik-Systeme zeichnen sich dadurch aus, daß der Entscheidungsprozeß transparent bleibt, da mit der Regelbasis und den linguistischen Bewertungen die Entscheidungsgrund< ?PageNum _218-lagen offenliegen. Zur adäquaten Beschreibung der linguistischen Bewertungen lassen sich neben Expertenmeinungen auch Datenbanken heranziehen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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